有限数学示例

$(\frac{\frac{25 k^{2} - 10 k - 24}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}}) \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

解题步骤 1

分组因式分解。

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解题步骤 1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 25 \cdot - 24 = - 600$ 并且它们的和为 $b = - 10$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $- 10 k$ 中分解出因数 $- 10$ 。

$\frac{\frac{25 k^{2} - 10 (k) - 24}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

解题步骤 1.1.2

把 $- 10$ 重写为 $20$ 加 $- 30$

$\frac{\frac{25 k^{2} + (20 - 30) k - 24}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

解题步骤 1.1.3

运用分配律。

$\frac{\frac{25 k^{2} + 20 k - 30 k - 24}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

解题步骤 1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{\frac{(25 k^{2} + 20 k) - 30 k - 24}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

解题步骤 1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{\frac{5 k (5 k + 4) - 6 (5 k + 4)}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

解题步骤 1.3

通过因式分解出最大公因数 $5 k + 4$ 来因式分解多项式。

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k^{2} + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

解题步骤 2

从 $k^{2} + 7 k$ 中分解出因数 $k$ 。

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解题步骤 2.1

从 $k^{2}$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k \cdot k + 7 k}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

解题步骤 2.2

从 $7 k$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k \cdot k + k \cdot 7}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

解题步骤 2.3

从 $k \cdot k + k \cdot 7$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k^{3} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

从 $k^{3} + 4 k^{2} - 21 k$ 中分解出因数 $k$ 。

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解题步骤 3.1.1

从 $k^{3}$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k \cdot k^{2} + 4 k^{2} - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

解题步骤 3.1.2

从 $4 k^{2}$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k \cdot k^{2} + k (4 k) - 21 k}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

解题步骤 3.1.3

从 $- 21 k$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k \cdot k^{2} + k (4 k) + k \cdot - 21}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

解题步骤 3.1.4

从 $k \cdot k^{2} + k (4 k)$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k^{2} + 4 k) + k \cdot - 21}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

解题步骤 3.1.5

从 $k (k^{2} + 4 k) + k \cdot - 21$ 中分解出因数 $k$ 。

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k^{2} + 4 k - 21)}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

解题步骤 3.2

使用 AC 法来对 $k^{2} + 4 k - 21$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 21$ ，和为 $4$ 。

$- 3, 7$

解题步骤 3.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k ((k - 3) (k + 7))}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{k^{2} - 6 k + 8}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

解题步骤 4

使用 AC 法来对 $k^{2} - 6 k + 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $- 6$ 。

$- 4, - 2$

解题步骤 4.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{5 k^{2} - 16 k - 16}$

解题步骤 5

分组因式分解。

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解题步骤 5.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 5 \cdot - 16 = - 80$ 并且它们的和为 $b = - 16$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $- 16 k$ 中分解出因数 $- 16$ 。

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{5 k^{2} - 16 (k) - 16}$

解题步骤 5.1.2

把 $- 16$ 重写为 $4$ 加 $- 20$

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{5 k^{2} + (4 - 20) k - 16}$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{5 k^{2} + 4 k - 20 k - 16}$

解题步骤 5.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k^{2} + 4 k) - 20 k - 16}$

解题步骤 5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{k (5 k + 4) - 4 (5 k + 4)}$

解题步骤 5.3

通过因式分解出最大公因数 $5 k + 4$ 来因式分解多项式。

$\frac{\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)}}{\frac{5 k - 6}{k (k - 3) (k + 7)}} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

解题步骤 6

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{(5 k + 4) (5 k - 6)}{k (k + 7)} \cdot \frac{k (k - 3) (k + 7)}{5 k - 6} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

解题步骤 7

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 7.1

约去 $5 k - 6$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

从 $(5 k + 4) (5 k - 6)$ 中分解出因数 $5 k - 6$ 。

$\frac{(5 k - 6) (5 k + 4)}{k (k + 7)} \cdot \frac{k (k - 3) (k + 7)}{5 k - 6} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

解题步骤 7.1.2

约去公因数。

$\frac{(5 k - 6) (5 k + 4)}{k (k + 7)} \cdot \frac{k (k - 3) (k + 7)}{5 k - 6} \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

解题步骤 7.1.3

重写表达式。

$\frac{5 k + 4}{k (k + 7)} (k (k - 3) (k + 7)) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

解题步骤 7.2

约去 $k (k + 7)$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

从 $k (k - 3) (k + 7)$ 中分解出因数 $k (k + 7)$ 。

$\frac{5 k + 4}{k (k + 7)} (k (k + 7) (k - 3)) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

解题步骤 7.2.2

约去公因数。

$\frac{5 k + 4}{k (k + 7)} (k (k + 7) (k - 3)) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

解题步骤 7.2.3

重写表达式。

$(5 k + 4) (k - 3) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

解题步骤 7.3

约去 $5 k + 4$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

约去公因数。

$(5 k + 4) (k - 3) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{(5 k + 4) (k - 4)}$

解题步骤 7.3.2

重写表达式。

$(k - 3) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{k - 4}$

解题步骤 7.4

约去 $k - 4$ 的公因数。

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解题步骤 7.4.1

约去公因数。

$(k - 3) \cdot \frac{(k - 4) (k - 2)}{k - 4}$

解题步骤 7.4.2

用 $k - 2$ 除以 $1$ 。

$(k - 3) \cdot (k - 2)$

解题步骤 8

使用 FOIL 方法展开 $(k - 3) (k - 2)$ 。

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解题步骤 8.1

运用分配律。

$k (k - 2) - 3 (k - 2)$

解题步骤 8.2

运用分配律。

$k \cdot k + k \cdot - 2 - 3 (k - 2)$

解题步骤 8.3

运用分配律。

$k \cdot k + k \cdot - 2 - 3 k - 3 \cdot - 2$

解题步骤 9

化简并合并同类项。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$k^{2} + k \cdot - 2 - 3 k - 3 \cdot - 2$

解题步骤 9.1.2

将 $- 2$ 移到 $k$ 的左侧。

$k^{2} - 2 \cdot k - 3 k - 3 \cdot - 2$

解题步骤 9.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 2$ 。

$k^{2} - 2 k - 3 k + 6$

解题步骤 9.2

从 $- 2 k$ 中减去 $3 k$ 。

$k^{2} - 5 k + 6$

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