有限数学示例

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 4 y^{2}$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 1.1.1

从等式两边同时减去 $4 y^{2}$ 。

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 63 - 4 y^{2} = 0$

解题步骤 1.1.2

移动 $- 63$ 。

$9 x^{2} - 18 x - 24 y - 4 y^{2} - 63 = 0$

解题步骤 1.1.3

移动 $- 24 y$ 。

$9 x^{2} - 18 x - 4 y^{2} - 24 y - 63 = 0$

解题步骤 1.1.4

移动 $- 18 x$ 。

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y - 63 = 0$

解题步骤 1.2

在等式两边都加上 $63$ 。

$9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$

解题步骤 1.3

对 $9 x^{2} - 18 x$ 进行配方。

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解题步骤 1.3.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 9$

$b = - 18$

$c = 0$

解题步骤 1.3.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.3.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.3.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 18}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.3.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

约去 $- 18$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.2.1.1

从 $- 18$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.3.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot 9$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (9)}$

解题步骤 1.3.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.3.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 9}{9}$

解题步骤 1.3.3.2.2

约去 $- 9$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1

从 $- 9$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9}$

解题步骤 1.3.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.3.2.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 (1)}$

解题步骤 1.3.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1}$

解题步骤 1.3.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{1}$

解题步骤 1.3.3.2.2.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$d = - 1$

解题步骤 1.3.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.3.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot 9}$

解题步骤 1.3.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.4.2.1.1

对 $- 18$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

解题步骤 1.3.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$e = 0 - \frac{324}{36}$

解题步骤 1.3.4.2.1.3

用 $324$ 除以 $36$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 9$

解题步骤 1.3.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$e = 0 - 9$

解题步骤 1.3.4.2.2

从 $0$ 中减去 $9$ 。

$e = - 9$

解题步骤 1.3.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ 。

$9 {(x - 1)}^{2} - 9$

解题步骤 1.4

在方程 $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ 中，用 $9 {(x - 1)}^{2} - 9$ 代替 $9 x^{2} - 18 x$ 。

$9 {(x - 1)}^{2} - 9 - 4 y^{2} - 24 y = 63$

解题步骤 1.5

通过在等式两边同时加上 $9$ 的方法来将 $- 9$ 移到等式右边。

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 y^{2} - 24 y = 63 + 9$

解题步骤 1.6

对 $- 4 y^{2} - 24 y$ 进行配方。

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解题步骤 1.6.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 4$

$b = - 24$

$c = 0$

解题步骤 1.6.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.6.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.6.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 24}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 1.6.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.6.3.2.1

约去 $- 24$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.3.2.1.1

从 $- 24$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 1.6.3.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.6.3.2.1.2.1

从 $2 \cdot - 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 (- 4)}$

解题步骤 1.6.3.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot - 4}$

解题步骤 1.6.3.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 12}{- 4}$

解题步骤 1.6.3.2.2

约去 $- 12$ 和 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.3.2.2.1

从 $- 12$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$d = \frac{- 4 (3)}{- 4}$

解题步骤 1.6.3.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.6.3.2.2.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $- 4$ 。

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.3.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 1}$

解题步骤 1.6.3.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{3}{1}$

解题步骤 1.6.3.2.2.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$d = 3$

解题步骤 1.6.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.6.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 24)}^{2}}{4 \cdot - 4}$

解题步骤 1.6.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.6.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.4.2.1.1

对 $- 24$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{576}{4 \cdot - 4}$

解题步骤 1.6.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$e = 0 - \frac{576}{- 16}$

解题步骤 1.6.4.2.1.3

用 $576$ 除以 $- 16$ 。

$e = 0 - - 36$

解题步骤 1.6.4.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 36$ 。

$e = 0 + 36$

解题步骤 1.6.4.2.2

将 $0$ 和 $36$ 相加。

$e = 36$

解题步骤 1.6.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ 。

$- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$

解题步骤 1.7

在方程 $9 x^{2} - 4 y^{2} - 18 x - 24 y = 63$ 中，用 $- 4 {(y + 3)}^{2} + 36$ 代替 $- 4 y^{2} - 24 y$ 。

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} + 36 = 63 + 9$

解题步骤 1.8

通过在等式两边同时加上 $36$ 的方法来将 $36$ 移到等式右边。

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 63 + 9 - 36$

解题步骤 1.9

化简 $63 + 9 - 36$ 。

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解题步骤 1.9.1

将 $63$ 和 $9$ 相加。

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 72 - 36$

解题步骤 1.9.2

从 $72$ 中减去 $36$ 。

$9 {(x - 1)}^{2} - 4 {(y + 3)}^{2} = 36$

解题步骤 1.10

将每一项除以 $36$ 以使方程右边等于一。

$\frac{9 {(x - 1)}^{2}}{36} - \frac{4 {(y + 3)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

解题步骤 1.11

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线渐近线的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 2$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 1$

解题步骤 4

因为双曲线开口向左和向右，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 的形式。

$y = \pm \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

解题步骤 5

化简求第一条渐近线。

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解题步骤 5.1

去掉圆括号。

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

解题步骤 5.2

化简 $\frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ 。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

解题步骤 5.2.1.2

运用分配律。

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

解题步骤 5.2.1.3

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

解题步骤 5.2.1.4

乘以 $\frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 5.2.1.4.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $- 1$ 。

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{2} - 3$

解题步骤 5.2.1.4.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2} - 3$

解题步骤 5.2.1.5

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3$

解题步骤 5.2.2

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 5.2.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 5.2.5

化简分子。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 3 - 6}{2}$

解题步骤 5.2.5.2

从 $- 3$ 中减去 $6$ 。

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{- 9}{2}$

解题步骤 5.2.6

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$

解题步骤 6

化简求第二条渐近线。

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解题步骤 6.1

去掉圆括号。

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$

解题步骤 6.2

化简 $- \frac{3}{2} \cdot (x - (1)) - 3$ 。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 1) - 3$

解题步骤 6.2.1.2

运用分配律。

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

解题步骤 6.2.1.3

组合 $x$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 1 - 3$

解题步骤 6.2.1.4

乘以 $- \frac{3}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 6.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 1 (\frac{3}{2}) - 3$

解题步骤 6.2.1.4.2

将 $\frac{3}{2}$ 乘以 $1$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{3}{2} - 3$

解题步骤 6.2.1.5

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3$

解题步骤 6.2.2

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 6.2.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 6.2.4

在公分母上合并分子。

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 3 \cdot 2}{2}$

解题步骤 6.2.5

化简分子。

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解题步骤 6.2.5.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{3 - 6}{2}$

解题步骤 6.2.5.2

从 $3$ 中减去 $6$ 。

$y = - \frac{3 x}{2} + \frac{- 3}{2}$

解题步骤 6.2.6

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

解题步骤 7

该双曲线有两条渐近线。

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

解题步骤 8

渐近线是 $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}$ 和 $y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$ 。

渐近线： $y = \frac{3 x}{2} - \frac{9}{2}, y = - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{2}$

解题步骤 9

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