有限数学示例

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + (k + 1) (k + 1)$

解题步骤 1

使用 FOIL 方法展开 $(k + 1) (k + 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

运用分配律。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k (k + 1) + 1 (k + 1)$

解题步骤 1.2

运用分配律。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 (k + 1)$

解题步骤 1.3

运用分配律。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k \cdot k + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

解题步骤 2

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k \cdot 1 + 1 k + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.1.2

将 $k$ 乘以 $1$ 。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + 1 k + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.1.3

将 $k$ 乘以 $1$ 。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + k + k + 1$

解题步骤 2.2

将 $k$ 和 $k$ 相加。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} + 2 k + 1$

解题步骤 3

要将 $k^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + k^{2} \cdot \frac{6}{6} + 2 k + 1$

解题步骤 4

组合 $k^{2}$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1)}{6} + \frac{k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 2 k + 1$

解题步骤 6

重新排序项。

$2 k + \frac{k (k + 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6}{6} + 1$

解题步骤 7

从每项中因式分解出 $\frac{1}{6}$ 。

$\frac{1}{6} (12 k + (k (k + 1)) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

解题步骤 8

运用分配律。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k \cdot k + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

解题步骤 9

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k \cdot 1) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

解题步骤 10

将 $k$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + (k^{2} + k) (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

解题步骤 11

使用 FOIL 方法展开 $(k^{2} + k) (2 k + 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

运用分配律。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k + 1) + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

解题步骤 11.2

运用分配律。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k + 1) + k^{2} \cdot 6 + 6)$

解题步骤 11.3

运用分配律。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + k^{2} (2 k) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

解题步骤 12

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{2} k + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

解题步骤 12.1.2

通过指数相加将 $k^{2}$ 乘以 $k$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.2.1

移动 $k$ 。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k \cdot k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

解题步骤 12.1.2.2

将 $k$ 乘以 $k^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.2.2.1

对 $k$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 (k^{1} k^{2}) + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

解题步骤 12.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{1 + 2} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

解题步骤 12.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} \cdot 1 + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

解题步骤 12.1.3

将 $k^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + k (2 k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

解题步骤 12.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k \cdot k + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

解题步骤 12.1.5

通过指数相加将 $k$ 乘以 $k$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1.5.1

移动 $k$ 。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 (k \cdot k) + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

解题步骤 12.1.5.2

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k \cdot 1 + k^{2} \cdot 6 + 6)$

解题步骤 12.1.6

将 $k$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + k^{2} + 2 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

解题步骤 12.2

将 $k^{2}$ 和 $2 k^{2}$ 相加。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + k^{2} \cdot 6 + 6)$

解题步骤 13

将 $6$ 移到 $k^{2}$ 的左侧。

$\frac{1}{6} \cdot (12 k + 2 k^{3} + 3 k^{2} + k + 6 k^{2} + 6)$

解题步骤 14

将 $12 k$ 和 $k$ 相加。

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 3 k^{2} + 13 k + 6 k^{2} + 6)$

解题步骤 15

将 $3 k^{2}$ 和 $6 k^{2}$ 相加。

$\frac{1}{6} \cdot (2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6)$

解题步骤 16

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1

以因式分解的形式重写 $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1.1

使用有理根检验法因式分解 $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 16.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5$

解题步骤 16.1.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

$2 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

解题步骤 16.1.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot - 1 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

解题步骤 16.1.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 + 9 {(- 1)}^{2} + 13 \cdot - 1 + 6$

解题步骤 16.1.1.3.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2 + 9 \cdot 1 + 13 \cdot - 1 + 6$

解题步骤 16.1.1.3.5

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$- 2 + 9 + 13 \cdot - 1 + 6$

解题步骤 16.1.1.3.6

将 $- 2$ 和 $9$ 相加。

$7 + 13 \cdot - 1 + 6$

解题步骤 16.1.1.3.7

将 $13$ 乘以 $- 1$ 。

$7 - 13 + 6$

解题步骤 16.1.1.3.8

从 $7$ 中减去 $13$ 。

$- 6 + 6$

解题步骤 16.1.1.3.9

将 $- 6$ 和 $6$ 相加。

$0$

解题步骤 16.1.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $k + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6}{k + 1}$

解题步骤 16.1.1.5

用 $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ 除以 $k + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$k$

$1$

$2 k^{3}$

$9 k^{2}$

$13 k$

$6$

解题步骤 16.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 k^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $k$ 。

					$2 k^{2}$
	$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$

解题步骤 16.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			+	$2 k^{3}$	+	$2 k^{2}$

解题步骤 16.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 k^{3} + 2 k^{2}$ 中的所有符号

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$

解题步骤 16.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$

解题步骤 16.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 k^{2}$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

解题步骤 16.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $7 k^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $k$ 。

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$

解题步骤 16.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					+	$7 k^{2}$	+	$7 k$

解题步骤 16.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $7 k^{2} + 7 k$ 中的所有符号

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$

解题步骤 16.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$

解题步骤 16.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 k^{2}$	+	$7 k$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

解题步骤 16.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $6 k$ 除以除数中的最高阶项 $k$ 。

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$

解题步骤 16.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							+	$6 k$	+	$6$

解题步骤 16.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $6 k + 6$ 中的所有符号

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$

解题步骤 16.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 k^{2}$	+	$7 k$	+	$6$
$k$	+	$1$		$2 k^{3}$	+	$9 k^{2}$	+	$13 k$	+	$6$
			-	$2 k^{3}$	-	$2 k^{2}$
					+	$7 k^{2}$	+	$13 k$
					-	$7 k^{2}$	-	$7 k$
							+	$6 k$	+	$6$
							-	$6 k$	-	$6$
										$0$

解题步骤 16.1.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 k^{2} + 7 k + 6$

解题步骤 16.1.1.6

将 $2 k^{3} + 9 k^{2} + 13 k + 6$ 书写为因数的集合。

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 k + 6))$

解题步骤 16.1.2

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1.2.1

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ 并且它们的和为 $b = 7$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1.2.1.1.1

从 $7 k$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 7 (k) + 6))$

解题步骤 16.1.2.1.1.2

把 $7$ 重写为 $3$ 加 $4$

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + (3 + 4) k + 6))$

解题步骤 16.1.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k^{2} + 3 k + 4 k + 6))$

解题步骤 16.1.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 16.1.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k^{2} + 3 k) + 4 k + 6))$

解题步骤 16.1.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (k (2 k + 3) + 2 (2 k + 3)))$

解题步骤 16.1.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 k + 3$ 来因式分解多项式。

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) ((2 k + 3) (k + 2)))$

解题步骤 16.1.2.2

去掉多余的括号。

$\frac{1}{6} \cdot ((k + 1) (2 k + 3) (k + 2))$

解题步骤 16.2

去掉多余的括号。

$\frac{1}{6} \cdot (k + 1) (2 k + 3) (k + 2)$

有限数学 示例

有限数学示例