有限数学示例

$f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ 写为等式。

$y = \sqrt[3]{x^{7}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt[3]{y^{7}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt[3]{y^{7}} = x$ 。

$\sqrt[3]{y^{7}} = x$

解题步骤 3.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{y^{7}}}^{3} = x^{3}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{y^{7}}$ 重写成 $y^{\frac{7}{3}}$ 。

${(y^{\frac{7}{3}})}^{3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

将 ${(y^{\frac{7}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{7}{3} \cdot 3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{7}{3} \cdot 3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2.2

重写表达式。

$y^{7} = x^{3}$

解题步骤 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[7]{x^{3}}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$ 是否为 $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}})$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(\sqrt[3]{x^{7}})}^{3}}$

解题步骤 5.2.3

将 $x^{7}$ 重写为 ${(x^{2})}^{3} x$ 。

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解题步骤 5.2.3.1

因式分解出 $x^{6}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{\sqrt[3]{x^{6} x}}^{3}}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $x^{6}$ 重写为 ${(x^{2})}^{3}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{\sqrt[3]{{(x^{2})}^{3} x}}^{3}}$

解题步骤 5.2.4

从根式下提出各项。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(x^{2} \sqrt[3]{x})}^{3}}$

解题步骤 5.2.5

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.2.5.1

对 $x^{2} \sqrt[3]{x}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{{(x^{2})}^{3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

解题步骤 5.2.5.2

将 ${(x^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{2 \cdot 3} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

解题步骤 5.2.5.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} {\sqrt[3]{x}}^{3}}$

解题步骤 5.2.6

将 ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ 重写为 $x$ 。

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解题步骤 5.2.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 5.2.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 5.2.6.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.2.6.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.6.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 5.2.6.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

解题步骤 5.2.6.5

化简。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

解题步骤 5.2.7

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.7.1

将 $x^{6}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.7.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6} x}$

解题步骤 5.2.7.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{6 + 1}}$

解题步骤 5.2.7.2

将 $6$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

解题步骤 5.2.8

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{x^{7}}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\sqrt[7]{x^{3}})$ 。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{{(\sqrt[7]{x^{3}})}^{7}}$

解题步骤 5.3.3

将 ${\sqrt[7]{x^{3}}}^{7}$ 重写为 $x^{3}$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[7]{x^{3}}$ 重写成 $x^{\frac{3}{7}}$ 。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{{(x^{\frac{3}{7}})}^{7}}$

解题步骤 5.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3}{7} \cdot 7}}$

解题步骤 5.3.3.3

组合 $\frac{3}{7}$ 和 $7$ 。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3 \cdot 7}{7}}}$

解题步骤 5.3.3.4

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{21}{7}}}$

解题步骤 5.3.3.5

约去 $21$ 和 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.5.1

从 $21$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7}}}$

解题步骤 5.3.3.5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.3.5.2.1

从 $7$ 中分解出因数 $7$ 。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7 (1)}}}$

解题步骤 5.3.3.5.2.2

约去公因数。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{7 \cdot 3}{7 \cdot 1}}}$

解题步骤 5.3.3.5.2.3

重写表达式。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{\frac{3}{1}}}$

解题步骤 5.3.3.5.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

解题步骤 5.3.4

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (\sqrt[7]{x^{3}}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$ 为 $f (x) = \sqrt[3]{x^{7}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{x^{3}}$

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