有限数学示例

$f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ 写为等式。

$y = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程乘以 $y - 8$ 。

$(y - 8) (x) = (\frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8}) (y - 8)$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$y x - 8 x = (\frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8}) (y - 8)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

约去 $y - 8$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

$y x - 8 x = \frac{\sqrt{2 y + 3}}{y - 8} (y - 8)$

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$y x - 8 x = \sqrt{2 y + 3}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $\sqrt{2 y + 3} = y x - 8 x$ 。

$\sqrt{2 y + 3} = y x - 8 x$

解题步骤 3.4.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{2 y + 3}}^{2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2 y + 3}$ 重写成 ${(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.3.2.1

化简 ${({(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.3.2.1.1

将 ${({(2 y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(y x - 8 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 y + 3)}^{1} = {(y x - 8 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3.2.1.2

化简。

$2 y + 3 = {(y x - 8 x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.3.1

化简 ${(y x - 8 x)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.3.3.1.1

将 ${(y x - 8 x)}^{2}$ 重写为 $(y x - 8 x) (y x - 8 x)$ 。

$2 y + 3 = (y x - 8 x) (y x - 8 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(y x - 8 x) (y x - 8 x)$ 。

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解题步骤 3.4.3.3.1.2.1

运用分配律。

$2 y + 3 = y x (y x - 8 x) - 8 x (y x - 8 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.2.2

运用分配律。

$2 y + 3 = y x (y x) + y x (- 8 x) - 8 x (y x - 8 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.2.3

运用分配律。

$2 y + 3 = y x (y x) + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.3.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.1

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.1.1

移动 $y$ 。

$2 y + 3 = y \cdot y x \cdot x + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.1.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$2 y + 3 = y^{2} x \cdot x + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$2 y + 3 = y^{2} (x \cdot x) + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} + y x (- 8 x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x \cdot x - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.4.1

移动 $x$ 。

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y (x \cdot x) - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x (y x) - 8 x (- 8 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 (x \cdot x) y - 8 x (- 8 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 x (- 8 x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 \cdot - 8 x \cdot x$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.7

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.7.1

移动 $x$ 。

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 \cdot - 8 (x \cdot x)$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.7.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y - 8 \cdot - 8 x^{2}$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.1.8

将 $- 8$ 乘以 $- 8$ 。

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 y x^{2} - 8 x^{2} y + 64 x^{2}$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.2

从 $- 8 y x^{2}$ 中减去 $8 x^{2} y$ 。

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解题步骤 3.4.3.3.1.3.2.1

移动 $y$ 。

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 8 x^{2} y - 8 x^{2} y + 64 x^{2}$

解题步骤 3.4.3.3.1.3.2.2

从 $- 8 x^{2} y$ 中减去 $8 x^{2} y$ 。

$2 y + 3 = y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2}$

解题步骤 3.4.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

因为 $y$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2} = 2 y + 3$

解题步骤 3.4.4.2

从等式两边同时减去 $2 y$ 。

$y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2} - 2 y = 3$

解题步骤 3.4.4.3

从等式两边同时减去 $3$ 。

$y^{2} x^{2} - 16 x^{2} y + 64 x^{2} - 2 y - 3 = 0$

解题步骤 3.4.4.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.4.4.5

将 $a = x^{2}$ 、 $b = - 16 x^{2} - 2$ 和 $c = 64 x^{2} - 3$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- (- 16 x^{2} - 2) \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6

化简分子。

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解题步骤 3.4.4.6.1

运用分配律。

$y = \frac{- (- 16 x^{2}) + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.2

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.4

添加圆括号。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.5

使 $u = x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ 。

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解题步骤 3.4.4.6.5.1

将 ${(- 16 x^{2} - 2)}^{2}$ 重写为 $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ 。

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解题步骤 3.4.4.6.5.2.1

运用分配律。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2} - 2) - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.5.2.2

运用分配律。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.5.2.3

运用分配律。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.4.6.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.6.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.5.3.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.4.6.5.3.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.5.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.5.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.5.3.1.3

将 $- 16$ 乘以 $- 16$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.5.3.1.4

将 $- 2$ 乘以 $- 16$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.5.3.1.5

将 $- 16$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.5.3.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.5.3.2

将 $32 x^{2}$ 和 $32 x^{2}$ 相加。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.6

从 $256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.4.4.6.6.1

从 $256 x^{4}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.6.2

从 $64 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.6.3

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) - 4 u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.6.4

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.6.5

从 $4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.6.6

从 $4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.6.7

从 $4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - u)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.7

使用 $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.8

化简。

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解题步骤 3.4.4.6.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.6.8.1.1

运用分配律。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} (64 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.8.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.8.1.3

将 $- 3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.8.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.4.6.8.1.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 (x^{2} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.8.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2 + 2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.8.1.4.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.8.1.5

运用分配律。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4}) - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.8.1.6

将 $64$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.8.1.7

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.8.2

合并 $64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.4.4.6.8.2.1

从 $64 x^{4}$ 中减去 $64 x^{4}$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 0 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.8.2.2

将 $16 x^{2} + 1$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.8.3

将 $16 x^{2}$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.9

将 $4 (19 x^{2} + 1)$ 重写为 $2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})$ 。

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解题步骤 3.4.4.6.9.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.9.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.10

从根式下提出各项。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1^{2}}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.6.11

一的任意次幂都为一。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.4.4.7.1

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.7.2

约去 $16 x^{2} + 2 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.7.2.1

从 $16 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.7.2.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 \cdot 1 + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.7.2.3

从 $2 (8 x^{2}) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) + 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.7.2.4

从 $2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) + 2 (\sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.7.2.5

从 $2 (8 x^{2} + 1) + 2 (\sqrt{19 x^{2} + 1})$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.7.2.6

约去公因数。

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解题步骤 3.4.4.7.2.6.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 (x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.7.2.6.2

约去公因数。

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.7.2.6.3

重写表达式。

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.4.4.8.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.4.8.1.1

运用分配律。

$y = \frac{- (- 16 x^{2}) + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.2

将 $- 16$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.4

添加圆括号。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{{(- 16 x^{2} - 2)}^{2} - 4 \cdot (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.5

使 $u = x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ 。

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解题步骤 3.4.4.8.1.5.1

将 ${(- 16 x^{2} - 2)}^{2}$ 重写为 $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 16 x^{2} - 2) (- 16 x^{2} - 2)$ 。

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解题步骤 3.4.4.8.1.5.2.1

运用分配律。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2} - 2) - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.5.2.2

运用分配律。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2} - 2) - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.5.2.3

运用分配律。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 x^{2} (- 16 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.4.8.1.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.8.1.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.5.3.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.4.8.1.5.3.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.5.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.5.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{- 16 \cdot (- 16 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.5.3.1.3

将 $- 16$ 乘以 $- 16$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 2 - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.5.3.1.4

将 $- 2$ 乘以 $- 16$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} - 2 (- 16 x^{2}) - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.5.3.1.5

将 $- 16$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.5.3.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 32 x^{2} + 32 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.5.3.2

将 $32 x^{2}$ 和 $32 x^{2}$ 相加。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 \cdot u}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.6

从 $256 x^{4} + 64 x^{2} + 4 - 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.4.4.8.1.6.1

从 $256 x^{4}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 64 x^{2} + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.6.2

从 $64 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 - 4 u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.6.3

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) - 4 u}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.6.4

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.6.5

从 $4 (64 x^{4}) + 4 (16 x^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.6.6

从 $4 (64 x^{4} + 16 x^{2}) + 4 (1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.6.7

从 $4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1) + 4 (- u)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - u)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.7

使用 $x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} \cdot (64 x^{2} - 3)))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.8

化简。

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解题步骤 3.4.4.8.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.8.1.8.1.1

运用分配律。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (x^{2} (64 x^{2}) + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.8.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 3))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.8.1.3

将 $- 3$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2} x^{2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.8.1.4

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.4.8.1.8.1.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 (x^{2} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.8.1.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{2 + 2} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.8.1.4.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 \cdot x^{2}))}}{2 x^{2}}$

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4} - 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.8.1.5

运用分配律。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - (64 x^{4}) - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.8.1.6

将 $64$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} - (- 3 x^{2}))}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.8.1.7

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.8.2

合并 $64 x^{4} + 16 x^{2} + 1 - 64 x^{4} + 3 x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.4.4.8.1.8.2.1

从 $64 x^{4}$ 中减去 $64 x^{4}$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 0 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.8.2.2

将 $16 x^{2} + 1$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} + 1 + 3 x^{2})}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.8.3

将 $16 x^{2}$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{4 (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.9

将 $4 (19 x^{2} + 1)$ 重写为 $2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})$ 。

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解题步骤 3.4.4.8.1.9.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1)}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.9.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm \sqrt{2^{2} (19 x^{2} + 1^{2})}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.10

从根式下提出各项。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1^{2}}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.1.11

一的任意次幂都为一。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 \pm 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.2

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{16 x^{2} + 2 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.3

约去 $16 x^{2} + 2 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.8.3.1

从 $16 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.3.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (8 x^{2}) + 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.3.3

从 $2 (8 x^{2}) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) - 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.3.4

从 $- 2 \sqrt{19 x^{2} + 1}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1) + 2 (- \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.3.5

从 $2 (8 x^{2} + 1) + 2 (- \sqrt{19 x^{2} + 1})$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.3.6

约去公因数。

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解题步骤 3.4.4.8.3.6.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 (x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.8.3.6.2

约去公因数。

$y = \frac{2 (8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1})}{2 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.8.3.6.3

重写表达式。

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.9

最终答案为两个解的组合。

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

$y = \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ 是否为 $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.3

求 $\frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{19 x^{2} + 1}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$19 x^{2} + 1 \geq 0$

解题步骤 5.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$19 x^{2} \geq - 1$

解题步骤 5.3.2.2

将 $19 x^{2} \geq - 1$ 中的每一项除以 $19$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.2.1

将 $19 x^{2} \geq - 1$ 中的每一项都除以 $19$ 。

$\frac{19 x^{2}}{19} \geq \frac{- 1}{19}$

解题步骤 5.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.2.1

约去 $19$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{19 x^{2}}{19} \geq \frac{- 1}{19}$

解题步骤 5.3.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \geq \frac{- 1}{19}$

解题步骤 5.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} \geq - \frac{1}{19}$

解题步骤 5.3.2.3

因为左边为偶次幂，所以对所有实数都为正。

所有实数

解题步骤 5.3.3

将 $\frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 5.3.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 5.3.4.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 5.3.4.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 5.3.4.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 5.3.4.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.3.5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5.4

因为 $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ 的定义域并不等于 $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = \frac{8 x^{2} + 1 + \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}, \frac{8 x^{2} + 1 - \sqrt{19 x^{2} + 1}}{x^{2}}$ 并非 $f (x) = \frac{\sqrt{2 x + 3}}{x - 8}$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 6

有限数学 示例

有限数学示例