有限数学示例

$f (x) = \frac{x^{3} - 729}{x^{2} - 81}$ , $x = 9$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

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解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

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解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{3} - 729}{{(x + h)}^{2} - 81}$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

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解题步骤 2.1.2.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.1.1

将 $729$ 重写为 $9^{3}$ 。

$f (x + h) = \frac{{(x + h)}^{3} - 9^{3}}{{(x + h)}^{2} - 81}$

解题步骤 2.1.2.1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x + h$ 和 $b = 9$ 。

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) ({(x + h)}^{2} + (x + h) \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

解题步骤 2.1.2.1.3

化简。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

将 ${(x + h)}^{2}$ 重写为 $(x + h) (x + h)$ 。

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) ((x + h) (x + h) + (x + h) \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + h) (x + h)$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.3.2.1

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x (x + h) + h (x + h) + (x + h) \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

解题步骤 2.1.2.1.3.2.2

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x \cdot x + x h + h (x + h) + (x + h) \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

解题步骤 2.1.2.1.3.2.3

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + (x + h) \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

解题步骤 2.1.2.1.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.2.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.3.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + x h + h x + h \cdot h + (x + h) \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

解题步骤 2.1.2.1.3.3.1.2

将 $h$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + x h + h x + h^{2} + (x + h) \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

解题步骤 2.1.2.1.3.3.2

将 $x h$ 和 $h x$ 相加。

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解题步骤 2.1.2.1.3.3.2.1

将 $x$ 和 $h$ 重新排序。

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + h x + h x + h^{2} + (x + h) \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

解题步骤 2.1.2.1.3.3.2.2

将 $h x$ 和 $h x$ 相加。

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + (x + h) \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

解题步骤 2.1.2.1.3.4

运用分配律。

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + x \cdot 9 + h \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

解题步骤 2.1.2.1.3.5

将 $9$ 移到 $x$ 的左侧。

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 \cdot x + h \cdot 9 + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

解题步骤 2.1.2.1.3.6

将 $9$ 移到 $h$ 的左侧。

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 \cdot x + 9 \cdot h + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

解题步骤 2.1.2.1.3.7

将 $9$ 乘以 $h$ 。

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 9^{2})}{{(x + h)}^{2} - 81}$

解题步骤 2.1.2.1.3.8

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81)}{{(x + h)}^{2} - 81}$

解题步骤 2.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 2.1.2.2.1

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81)}{{(x + h)}^{2} - 9^{2}}$

解题步骤 2.1.2.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x + h$ 和 $b = 9$ 。

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81)}{(x + h + 9) (x + h - 9)}$

解题步骤 2.1.2.3

约去 $x + h - 9$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.3.1

约去公因数。

$f (x + h) = \frac{(x + h - 9) (x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81)}{(x + h + 9) (x + h - 9)}$

解题步骤 2.1.2.3.2

重写表达式。

$f (x + h) = \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9}$

解题步骤 2.1.2.4

最终答案为 $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9}$ 。

$\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9}$

解题步骤 2.2

求定义的补集。

$f (x + h) = \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9}$

$f (x) = \frac{x^{2} + 9 x + 81}{x + 9}$

$f (x + h) = \frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9}$

$f (x) = \frac{x^{2} + 9 x + 81}{x + 9}$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9} - (\frac{x^{2} + 9 x + 81}{x + 9})}{h}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

要将 $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 9}{x + 9}$ 。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9} \cdot \frac{x + 9}{x + 9} - \frac{x^{2} + 9 x + 81}{x + 9}}{h}$

解题步骤 4.1.2

要将 $- \frac{x^{2} + 9 x + 81}{x + 9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + h + 9}{x + h + 9}$ 。

$\frac{\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9} \cdot \frac{x + 9}{x + 9} - \frac{x^{2} + 9 x + 81}{x + 9} \cdot \frac{x + h + 9}{x + h + 9}}{h}$

解题步骤 4.1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + h + 9) (x + 9)$ 的形式。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $\frac{x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81}{x + h + 9}$ 乘以 $\frac{x + 9}{x + 9}$ 。

$\frac{\frac{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81) (x + 9)}{(x + h + 9) (x + 9)} - \frac{x^{2} + 9 x + 81}{x + 9} \cdot \frac{x + h + 9}{x + h + 9}}{h}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $\frac{x^{2} + 9 x + 81}{x + 9}$ 乘以 $\frac{x + h + 9}{x + h + 9}$ 。

$\frac{\frac{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81) (x + 9)}{(x + h + 9) (x + 9)} - \frac{(x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.3.3

重新排序 $(x + h + 9) (x + 9)$ 的因式。

$\frac{\frac{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81) (x + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)} - \frac{(x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.4

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81) (x + 9) - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5

以因式分解的形式重写 $\frac{(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81) (x + 9) - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} + 2 h x + h^{2} + 9 x + 9 h + 81) (x + 9)$ 。

$\frac{\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 9 + 2 h x \cdot x + 2 h x \cdot 9 + h^{2} x + h^{2} \cdot 9 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.5.2.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.2.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.2.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 9 + 2 h x \cdot x + 2 h x \cdot 9 + h^{2} x + h^{2} \cdot 9 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 9 + 2 h x \cdot x + 2 h x \cdot 9 + h^{2} x + h^{2} \cdot 9 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\frac{x^{3} + x^{2} \cdot 9 + 2 h x \cdot x + 2 h x \cdot 9 + h^{2} x + h^{2} \cdot 9 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.2

将 $9$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$\frac{\frac{x^{3} + 9 \cdot x^{2} + 2 h x \cdot x + 2 h x \cdot 9 + h^{2} x + h^{2} \cdot 9 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.2.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 2 h (x \cdot x) + 2 h x \cdot 9 + h^{2} x + h^{2} \cdot 9 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 2 h x^{2} + 2 h x \cdot 9 + h^{2} x + h^{2} \cdot 9 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.4

将 $9$ 乘以 $2$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 2 h x^{2} + 18 h x + h^{2} x + h^{2} \cdot 9 + 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.5

将 $9$ 移到 $h^{2}$ 的左侧。

$\frac{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 2 h x^{2} + 18 h x + h^{2} x + 9 \cdot h^{2} + 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.2.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 2 h x^{2} + 18 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 9 (x \cdot x) + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 2 h x^{2} + 18 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 9 x^{2} + 9 x \cdot 9 + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.7

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 2 h x^{2} + 18 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 9 x^{2} + 81 x + 9 h x + 9 h \cdot 9 + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.8

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 2 h x^{2} + 18 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 9 x^{2} + 81 x + 9 h x + 81 h + 81 x + 81 \cdot 9 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.2.9

将 $81$ 乘以 $9$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 9 x^{2} + 2 h x^{2} + 18 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 9 x^{2} + 81 x + 9 h x + 81 h + 81 x + 729 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.3

将 $9 x^{2}$ 和 $9 x^{2}$ 相加。

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 18 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 81 x + 9 h x + 81 h + 81 x + 729 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.4

将 $18 h x$ 和 $9 h x$ 相加。

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 81 x + 81 h + 81 x + 729 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.5

将 $81 x$ 和 $81 x$ 相加。

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - (x^{2} + 9 x + 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.6

运用分配律。

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 + (- x^{2} - (9 x) - 1 \cdot 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7

化简。

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解题步骤 4.1.5.7.1

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 + (- x^{2} - 9 x - 1 \cdot 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.7.2

将 $- 1$ 乘以 $81$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 + (- x^{2} - 9 x - 81) (x + h + 9)}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.8

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- x^{2} - 9 x - 81) (x + h + 9)$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{2} x - x^{2} h - x^{2} \cdot 9 - 9 x \cdot x - 9 x h - 9 x \cdot 9 - 81 x - 81 h - 81 \cdot 9}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9

化简每一项。

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解题步骤 4.1.5.9.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.9.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - (x \cdot x^{2}) - x^{2} h - x^{2} \cdot 9 - 9 x \cdot x - 9 x h - 9 x \cdot 9 - 81 x - 81 h - 81 \cdot 9}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.5.9.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - (x^{1} x^{2}) - x^{2} h - x^{2} \cdot 9 - 9 x \cdot x - 9 x h - 9 x \cdot 9 - 81 x - 81 h - 81 \cdot 9}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{1 + 2} - x^{2} h - x^{2} \cdot 9 - 9 x \cdot x - 9 x h - 9 x \cdot 9 - 81 x - 81 h - 81 \cdot 9}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{3} - x^{2} h - x^{2} \cdot 9 - 9 x \cdot x - 9 x h - 9 x \cdot 9 - 81 x - 81 h - 81 \cdot 9}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9.2

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{3} - x^{2} h - 9 x^{2} - 9 x \cdot x - 9 x h - 9 x \cdot 9 - 81 x - 81 h - 81 \cdot 9}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.5.9.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{3} - x^{2} h - 9 x^{2} - 9 (x \cdot x) - 9 x h - 9 x \cdot 9 - 81 x - 81 h - 81 \cdot 9}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{3} - x^{2} h - 9 x^{2} - 9 x^{2} - 9 x h - 9 x \cdot 9 - 81 x - 81 h - 81 \cdot 9}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9.4

将 $9$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{3} - x^{2} h - 9 x^{2} - 9 x^{2} - 9 x h - 81 x - 81 x - 81 h - 81 \cdot 9}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.9.5

将 $- 81$ 乘以 $9$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{3} - x^{2} h - 9 x^{2} - 9 x^{2} - 9 x h - 81 x - 81 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.10

从 $- 9 x^{2}$ 中减去 $9 x^{2}$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{3} - x^{2} h - 18 x^{2} - 9 x h - 81 x - 81 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.11

从 $- 81 x$ 中减去 $81 x$ 。

$\frac{\frac{x^{3} + 18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{3} - x^{2} h - 18 x^{2} - 9 x h - 162 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.12

从 $x^{3}$ 中减去 $x^{3}$ 。

$\frac{\frac{18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 + 0 - x^{2} h - 18 x^{2} - 9 x h - 162 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.13

将 $18 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{18 x^{2} + 2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{2} h - 18 x^{2} - 9 x h - 162 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.14

从 $18 x^{2}$ 中减去 $18 x^{2}$ 。

$\frac{\frac{2 h x^{2} + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - x^{2} h + 0 - 9 x h - 162 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.15

从 $2 h x^{2}$ 中减去 $x^{2} h$ 。

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解题步骤 4.1.5.15.1

移动 $h$ 。

$\frac{\frac{2 x^{2} h - x^{2} h + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 + 0 - 9 x h - 162 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.15.2

从 $2 x^{2} h$ 中减去 $x^{2} h$ 。

$\frac{\frac{1 x^{2} h + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 + 0 - 9 x h - 162 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.16

将 $1 x^{2} h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{1 x^{2} h + 27 h x + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - 9 x h - 162 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.17

从 $27 h x$ 中减去 $9 x h$ 。

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解题步骤 4.1.5.17.1

移动 $h$ 。

$\frac{\frac{1 x^{2} h + 27 x h - 9 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - 162 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.17.2

从 $27 x h$ 中减去 $9 x h$ 。

$\frac{\frac{1 x^{2} h + 18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 162 x + 81 h + 729 - 162 x - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.18

从 $162 x$ 中减去 $162 x$ 。

$\frac{\frac{1 x^{2} h + 18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 81 h + 729 + 0 - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.19

将 $1 x^{2} h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{1 x^{2} h + 18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 81 h + 729 - 81 h - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.20

从 $81 h$ 中减去 $81 h$ 。

$\frac{\frac{1 x^{2} h + 18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 0 + 729 - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.21

将 $1 x^{2} h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 1 x^{2} h + 729 - 729}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.22

从 $729$ 中减去 $729$ 。

$\frac{\frac{18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 1 x^{2} h + 0}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.23

将 $18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 1 x^{2} h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\frac{18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 1 x^{2} h}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.24

以因式分解的形式重写 $18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 1 x^{2} h$ 。

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解题步骤 4.1.5.24.1

从 $18 x h + h^{2} x + 9 h^{2} + 1 x^{2} h$ 中分解出因数 $h$ 。

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解题步骤 4.1.5.24.1.1

从 $18 x h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (18 x) + h^{2} x + 9 h^{2} + 1 x^{2} h}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.24.1.2

从 $h^{2} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (18 x) + h (h (x)) + 9 h^{2} + 1 x^{2} h}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.24.1.3

从 $9 h^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (18 x) + h (h (x)) + h (9 h) + 1 x^{2} h}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.24.1.4

从 $1 x^{2} h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (18 x) + h (h (x)) + h (9 h) + h (1 x^{2})}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.24.1.5

从 $h (18 x) + h (h (x))$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (18 x + h (x)) + h (9 h) + h (1 x^{2})}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.24.1.6

从 $h (18 x + h (x)) + h (9 h)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (18 x + h (x) + 9 h) + h (1 x^{2})}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.24.1.7

从 $h (18 x + h (x) + 9 h) + h (1 x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{\frac{h (18 x + h (x) + 9 h + 1 x^{2})}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.1.5.24.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{h (18 x + h (x) + 9 h + x^{2})}{(x + 9) (x + h + 9)}}{h}$

解题步骤 4.2

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{h (18 x + h (x) + 9 h + x^{2})}{(x + 9) (x + h + 9)} \cdot \frac{1}{h}$

解题步骤 4.3

合并。

$\frac{h (18 x + h (x) + 9 h + x^{2}) \cdot 1}{(x + 9) (x + h + 9) h}$

解题步骤 4.4

约去 $h$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1

约去公因数。

$\frac{h (18 x + h (x) + 9 h + x^{2}) \cdot 1}{(x + 9) (x + h + 9) h}$

解题步骤 4.4.2

重写表达式。

$\frac{(18 x + h x + 9 h + x^{2}) \cdot 1}{(x + 9) (x + h + 9)}$

解题步骤 4.5

将 $18 x + h x + 9 h + x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{18 x + h x + 9 h + x^{2}}{(x + 9) (x + h + 9)}$

解题步骤 5

使用表达式中的 $9$ 替换变量 $x$ 。

$\frac{18 (9) + h (9) + 9 h + {(9)}^{2}}{((9) + 9) ((9) + h + 9)}$

解题步骤 6

约去 $18 (9) + h (9) + 9 h + {(9)}^{2}$ 和 $(9) + 9$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

从 $18 (9)$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 (2 \cdot 9) + h (9) + 9 h + {(9)}^{2}}{((9) + 9) ((9) + h + 9)}$

解题步骤 6.2

从 $h (9)$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 (2 \cdot 9) + 9 h + 9 h + {(9)}^{2}}{((9) + 9) ((9) + h + 9)}$

解题步骤 6.3

从 $9 (2 \cdot 9) + 9 h$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 (2 \cdot 9 + h) + 9 h + {(9)}^{2}}{((9) + 9) ((9) + h + 9)}$

解题步骤 6.4

从 $9 h$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 (2 \cdot 9 + h) + 9 (h) + {(9)}^{2}}{((9) + 9) ((9) + h + 9)}$

解题步骤 6.5

从 $9 (2 \cdot 9 + h) + 9 (h)$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 (2 \cdot 9 + h + h) + {(9)}^{2}}{((9) + 9) ((9) + h + 9)}$

解题步骤 6.6

从 ${(9)}^{2}$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 (2 \cdot 9 + h + h) + 9 \cdot 9}{((9) + 9) ((9) + h + 9)}$

解题步骤 6.7

从 $9 (2 \cdot 9 + h + h) + 9 \cdot 9$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 (2 \cdot 9 + h + h + 9)}{((9) + 9) ((9) + h + 9)}$

解题步骤 6.8

约去公因数。

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解题步骤 6.8.1

从 $((9) + 9) ((9) + h + 9)$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{9 (2 \cdot 9 + h + h + 9)}{9 ((1 + 1) ((9) + h + 9))}$

解题步骤 6.8.2

约去公因数。

$\frac{9 (2 \cdot 9 + h + h + 9)}{9 ((1 + 1) ((9) + h + 9))}$

解题步骤 6.8.3

重写表达式。

$\frac{2 \cdot 9 + h + h + 9}{(1 + 1) ((9) + h + 9)}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$\frac{18 + h + h + 9}{(1 + 1) (9 + h + 9)}$

解题步骤 7.2

将 $18$ 和 $9$ 相加。

$\frac{h + h + 27}{(1 + 1) (9 + h + 9)}$

解题步骤 7.3

将 $h$ 和 $h$ 相加。

$\frac{2 h + 27}{(1 + 1) (9 + h + 9)}$

解题步骤 8

化简分母。

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解题步骤 8.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 h + 27}{2 (9 + h + 9)}$

解题步骤 8.2

将 $9$ 和 $9$ 相加。

$\frac{2 h + 27}{2 (h + 18)}$

解题步骤 9

有限数学 示例

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