有限数学示例

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

解题步骤 1

将

f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 写为等式。

y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$y = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

解题步骤 2

交换变量。

x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}

$x = \frac{y^{2} - 1}{y - 1}$

解题步骤 3

求解

y

$y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为

\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$ 。

\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x

$\frac{y^{2} - 1}{y - 1} = x$

解题步骤 3.2

将每一项进行分解因式。

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解题步骤 3.2.1

将

1

$1$ 重写为

1^{2}

$1^{2}$ 。

\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x

$\frac{y^{2} - 1^{2}}{y - 1} = x$

解题步骤 3.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中

a = y

$a = y$ 和

b = 1

$b = 1$ 。

\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

解题步骤 3.2.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.2.3.1

通过约去公因数来化简表达式

\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1}$ 。

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解题步骤 3.2.3.1.1

约去公因数。

$\frac{(y + 1) (y - 1)}{y - 1} = x$

解题步骤 3.2.3.1.2

重写表达式。

$\frac{y + 1}{1} = x$

解题步骤 3.2.3.2

用

$y + 1$ 除以

$1$ 。

$y + 1 = x$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去

$1$ 。

$y = x - 1$

解题步骤 4

Replace

$y$ with

$f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x - 1$

解题步骤 5

验证

$f^{- 1} (x) = x - 1$ 是否为

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 和

$f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算

$f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将

$f$ 的值代入

$f^{- 1}$ 来计算

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1})$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) - 1$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1.1

将

$1$ 重写为

$1^{2}$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1} - 1$

解题步骤 5.2.3.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中

$a = x$ 和

$b = 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

解题步骤 5.2.3.2

约去

$x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} - 1$

解题步骤 5.2.3.2.2

用

$x + 1$ 除以

$1$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 1 - 1$

解题步骤 5.2.4

合并

$x + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

从

$1$ 中减去

$1$ 。

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将

$x$ 和

$0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = x$

解题步骤 5.3

计算

$f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将

$f^{- 1}$ 的值代入

$f$ 来计算

$f (x - 1)$ 。

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1}{(x - 1) - 1}$

解题步骤 5.3.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1

将

$1$ 重写为

$1^{2}$ 。

$f (x - 1) = \frac{{(x - 1)}^{2} - 1^{2}}{x - 1 - 1}$

解题步骤 5.3.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中

$a = x - 1$ 和

$b = 1$ 。

$f (x - 1) = \frac{(x - 1 + 1) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

解题步骤 5.3.3.3

化简。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将

$- 1$ 和

$1$ 相加。

$f (x - 1) = \frac{(x + 0) (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

解题步骤 5.3.3.3.2

将

$x$ 和

$0$ 相加。

$f (x - 1) = \frac{x (x - 1 - 1)}{x - 1 - 1}$

解题步骤 5.3.3.3.3

从

$- 1$ 中减去

$1$ 。

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 1 - 1}$

解题步骤 5.3.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.3.4.1

从

$- 1$ 中减去

$1$ 。

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 5.3.4.2

约去

$x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.2.1

约去公因数。

$f (x - 1) = \frac{x (x - 2)}{x - 2}$

解题步骤 5.3.4.2.2

用

$x$ 除以

$1$ 。

$f (x - 1) = x$

解题步骤 5.4

由于

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 和

$f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此

$f^{- 1} (x) = x - 1$ 为

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x - 1$

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