有限数学示例

$25 x + 15 y = 975$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $25 x$ 。

$15 y = 975 - 25 x$

解题步骤 2

将 $15 y = 975 - 25 x$ 中的每一项除以 $15$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将 $15 y = 975 - 25 x$ 中的每一项都除以 $15$ 。

$\frac{15 y}{15} = \frac{975}{15} + \frac{- 25 x}{15}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{15 y}{15} = \frac{975}{15} + \frac{- 25 x}{15}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{975}{15} + \frac{- 25 x}{15}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

用 $975$ 除以 $15$ 。

$y = 65 + \frac{- 25 x}{15}$

解题步骤 2.3.1.2

约去 $- 25$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.1

从 $- 25 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = 65 + \frac{5 (- 5 x)}{15}$

解题步骤 2.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.3.1.2.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = 65 + \frac{5 (- 5 x)}{5 (3)}$

解题步骤 2.3.1.2.2.2

约去公因数。

$y = 65 + \frac{5 (- 5 x)}{5 \cdot 3}$

解题步骤 2.3.1.2.2.3

重写表达式。

$y = 65 + \frac{- 5 x}{3}$

解题步骤 2.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$y = 65 - \frac{5 x}{3}$

解题步骤 3

交换变量。

$x = 65 - \frac{5 y}{3}$

解题步骤 4

求解 $y$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $65 - \frac{5 y}{3} = x$ 。

$65 - \frac{5 y}{3} = x$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $65$ 。

$- \frac{5 y}{3} = x - 65$

解题步骤 4.3

等式两边同时乘以 $- \frac{3}{5}$ 。

$- \frac{3}{5} (- \frac{5 y}{3}) = - \frac{3}{5} (x - 65)$

解题步骤 4.4

化简方程的两边。

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解题步骤 4.4.1

化简左边。

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解题步骤 4.4.1.1

化简 $- \frac{3}{5} (- \frac{5 y}{3})$ 。

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解题步骤 4.4.1.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1.1.1.1

将 $- \frac{3}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 3}{5} (- \frac{5 y}{3}) = - \frac{3}{5} (x - 65)$

解题步骤 4.4.1.1.1.2

将 $- \frac{5 y}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 3}{5} \cdot \frac{- 5 y}{3} = - \frac{3}{5} (x - 65)$

解题步骤 4.4.1.1.1.3

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5 y}{3} = - \frac{3}{5} (x - 65)$

解题步骤 4.4.1.1.1.4

约去公因数。

$\frac{3 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5 y}{3} = - \frac{3}{5} (x - 65)$

解题步骤 4.4.1.1.1.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{5} (- 5 y) = - \frac{3}{5} (x - 65)$

解题步骤 4.4.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.1.1.2.1

从 $- 5 y$ 中分解出因数 $5$ 。

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{3}{5} (x - 65)$

解题步骤 4.4.1.1.2.2

约去公因数。

$\frac{- 1}{5} (5 (- y)) = - \frac{3}{5} (x - 65)$

解题步骤 4.4.1.1.2.3

重写表达式。

$- - y = - \frac{3}{5} (x - 65)$

解题步骤 4.4.1.1.3

乘。

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解题步骤 4.4.1.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 y = - \frac{3}{5} (x - 65)$

解题步骤 4.4.1.1.3.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = - \frac{3}{5} (x - 65)$

解题步骤 4.4.2

化简右边。

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解题步骤 4.4.2.1

化简 $- \frac{3}{5} (x - 65)$ 。

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解题步骤 4.4.2.1.1

化简项。

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解题步骤 4.4.2.1.1.1

运用分配律。

$y = - \frac{3}{5} x - \frac{3}{5} \cdot - 65$

解题步骤 4.4.2.1.1.2

组合 $x$ 和 $\frac{3}{5}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} - \frac{3}{5} \cdot - 65$

解题步骤 4.4.2.1.1.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1.1.3.1

将 $- \frac{3}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot - 65$

解题步骤 4.4.2.1.1.3.2

从 $- 65$ 中分解出因数 $5$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot (5 (- 13))$

解题步骤 4.4.2.1.1.3.3

约去公因数。

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + \frac{- 3}{5} \cdot (5 \cdot - 13)$

解题步骤 4.4.2.1.1.3.4

重写表达式。

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} - 3 \cdot - 13$

解题步骤 4.4.2.1.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 13$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{5} + 39$

解题步骤 4.4.2.1.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{3 x}{5} + 39$

解题步骤 5

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{5} + 39$

解题步骤 6

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{5} + 39$ 是否为 $f (x) = 65 - \frac{5 x}{3}$ 的反函数。

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解题步骤 6.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 6.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 6.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 6.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3})$ 。

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - \frac{3 (65 - \frac{5 x}{3})}{5} + 39$

解题步骤 6.2.3

化简每一项。

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解题步骤 6.2.3.1

约去 $65 - \frac{5 x}{3}$ 和 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.1

从 $3 (65 - \frac{5 x}{3})$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - \frac{5 (3 (13 - \frac{x}{3}))}{5} + 39$

解题步骤 6.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.3.1.2.1

从 $5$ 中分解出因数 $5$ 。

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - \frac{5 (3 (13 - \frac{x}{3}))}{5 (1)} + 39$

解题步骤 6.2.3.1.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - \frac{5 (3 (13 - \frac{x}{3}))}{5 \cdot 1} + 39$

解题步骤 6.2.3.1.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - \frac{3 (13 - \frac{x}{3})}{1} + 39$

解题步骤 6.2.3.1.2.4

用 $3 (13 - \frac{x}{3})$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - (3 (13 - \frac{x}{3})) + 39$

解题步骤 6.2.3.2

运用分配律。

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - (3 \cdot 13 + 3 (- \frac{x}{3})) + 39$

解题步骤 6.2.3.3

将 $3$ 乘以 $13$ 。

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - (39 + 3 (- \frac{x}{3})) + 39$

解题步骤 6.2.3.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.3.4.1

将 $- \frac{x}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - (39 + 3 (\frac{- x}{3})) + 39$

解题步骤 6.2.3.4.2

约去公因数。

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - (39 + 3 (\frac{- x}{3})) + 39$

解题步骤 6.2.3.4.3

重写表达式。

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - (39 - x) + 39$

解题步骤 6.2.3.5

运用分配律。

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - 1 \cdot 39 + x + 39$

解题步骤 6.2.3.6

将 $- 1$ 乘以 $39$ 。

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - 39 + x + 39$

解题步骤 6.2.3.7

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 6.2.3.7.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - 39 + 1 x + 39$

解题步骤 6.2.3.7.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = - 39 + x + 39$

解题步骤 6.2.4

合并 $- 39 + x + 39$ 中相反的项。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $- 39$ 和 $39$ 相加。

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = x + 0$

解题步骤 6.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (65 - \frac{5 x}{3}) = x$

解题步骤 6.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 6.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 6.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{3 x}{5} + 39)$ 。

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - \frac{5 (- \frac{3 x}{5} + 39)}{3}$

解题步骤 6.3.3

化简每一项。

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解题步骤 6.3.3.1

约去 $- \frac{3 x}{5} + 39$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.1.1

从 $5 (- \frac{3 x}{5} + 39)$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - \frac{3 (5 (- \frac{x}{5} + 13))}{3}$

解题步骤 6.3.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.3.3.1.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - \frac{3 (5 (- \frac{x}{5} + 13))}{3 (1)}$

解题步骤 6.3.3.1.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - \frac{3 (5 (- \frac{x}{5} + 13))}{3 \cdot 1}$

解题步骤 6.3.3.1.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - \frac{5 (- \frac{x}{5} + 13)}{1}$

解题步骤 6.3.3.1.2.4

用 $5 (- \frac{x}{5} + 13)$ 除以 $1$ 。

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - (5 (- \frac{x}{5} + 13))$

解题步骤 6.3.3.2

运用分配律。

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - (5 (- \frac{x}{5}) + 5 \cdot 13)$

解题步骤 6.3.3.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.3.3.1

将 $- \frac{x}{5}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - (5 (\frac{- x}{5}) + 5 \cdot 13)$

解题步骤 6.3.3.3.2

约去公因数。

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - (5 (\frac{- x}{5}) + 5 \cdot 13)$

解题步骤 6.3.3.3.3

重写表达式。

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - (- x + 5 \cdot 13)$

解题步骤 6.3.3.4

将 $5$ 乘以 $13$ 。

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 - (- x + 65)$

解题步骤 6.3.3.5

运用分配律。

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 + x - 1 \cdot 65$

解题步骤 6.3.3.6

乘以 $- - x$ 。

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解题步骤 6.3.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 + 1 x - 1 \cdot 65$

解题步骤 6.3.3.6.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 + x - 1 \cdot 65$

解题步骤 6.3.3.7

将 $- 1$ 乘以 $65$ 。

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = 65 + x - 65$

解题步骤 6.3.4

合并 $65 + x - 65$ 中相反的项。

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解题步骤 6.3.4.1

从 $65$ 中减去 $65$ 。

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = x + 0$

解题步骤 6.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (- \frac{3 x}{5} + 39) = x$

解题步骤 6.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{5} + 39$ 为 $f (x) = 65 - \frac{5 x}{3}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{3 x}{5} + 39$

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