有限数学示例

$P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$

解题步骤 1

将 $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ 写为等式。

$y = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$

解题步骤 2

交换变量。

$x = - 0.4 y^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $- 0.4 y^{2} + 80 \cdot 50 - 1600 = x$ 。

$- 0.4 y^{2} + 80 \cdot 50 - 1600 = x$

解题步骤 3.2

化简 $- 0.4 y^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ 。

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解题步骤 3.2.1

将 $80$ 乘以 $50$ 。

$- 0.4 y^{2} + 4000 - 1600 = x$

解题步骤 3.2.2

从 $4000$ 中减去 $1600$ 。

$- 0.4 y^{2} + 2400 = x$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $2400$ 。

$- 0.4 y^{2} = x - 2400$

解题步骤 3.4

将 $- 0.4 y^{2} = x - 2400$ 中的每一项除以 $- 0.4$ 并化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $- 0.4 y^{2} = x - 2400$ 中的每一项都除以 $- 0.4$ 。

$\frac{- 0.4 y^{2}}{- 0.4} = \frac{x}{- 0.4} + \frac{- 2400}{- 0.4}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $- 0.4$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 0.4 y^{2}}{- 0.4} = \frac{x}{- 0.4} + \frac{- 2400}{- 0.4}$

解题步骤 3.4.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{x}{- 0.4} + \frac{- 2400}{- 0.4}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$y^{2} = - \frac{x}{0.4} + \frac{- 2400}{- 0.4}$

解题步骤 3.4.3.1.2

乘以 $1$ 。

$y^{2} = - \frac{1 x}{0.4} + \frac{- 2400}{- 0.4}$

解题步骤 3.4.3.1.3

从 $0.4$ 中分解出因数 $0.4$ 。

$y^{2} = - \frac{1 x}{0.4 (1)} + \frac{- 2400}{- 0.4}$

解题步骤 3.4.3.1.4

分离分数。

$y^{2} = - (\frac{1}{0.4} \cdot \frac{x}{1}) + \frac{- 2400}{- 0.4}$

解题步骤 3.4.3.1.5

用 $1$ 除以 $0.4$ 。

$y^{2} = - (2.5 \frac{x}{1}) + \frac{- 2400}{- 0.4}$

解题步骤 3.4.3.1.6

用 $x$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = - (2.5 x) + \frac{- 2400}{- 0.4}$

解题步骤 3.4.3.1.7

将 $2.5$ 乘以 $- 1$ 。

$y^{2} = - 2.5 x + \frac{- 2400}{- 0.4}$

解题步骤 3.4.3.1.8

用 $- 2400$ 除以 $- 0.4$ 。

$y^{2} = - 2.5 x + 6000$

解题步骤 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 2.5 x + 6000}$

解题步骤 3.6

化简 $\pm \sqrt{- 2.5 x + 6000}$ 。

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解题步骤 3.6.1

从 $- 2.5 x + 6000$ 中分解出因数 $2.5$ 。

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解题步骤 3.6.1.1

从 $- 2.5 x$ 中分解出因数 $2.5$ 。

$y = \pm \sqrt{2.5 (- x) + 6000}$

解题步骤 3.6.1.2

从 $6000$ 中分解出因数 $2.5$ 。

$y = \pm \sqrt{2.5 (- x) + 2.5 (2400)}$

解题步骤 3.6.1.3

从 $2.5 (- x) + 2.5 (2400)$ 中分解出因数 $2.5$ 。

$y = \pm \sqrt{2.5 (- x + 2400)}$

解题步骤 3.6.2

将 $2.5 (- x + 2400)$ 重写为 ${({1.25743342}^{2})}^{2} (- x + 2400)$ 。

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解题步骤 3.6.2.1

将 $2.5$ 重写为 ${1.58113883}^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{{1.58113883}^{2} (- x + 2400)}$

解题步骤 3.6.2.2

将 $1.58113883$ 重写为 ${1.25743342}^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{{({1.25743342}^{2})}^{2} (- x + 2400)}$

解题步骤 3.6.3

从根式下提出各项。

$y = \pm {1.25743342}^{2} \sqrt{- x + 2400}$

解题步骤 3.6.4

对 $1.25743342$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \pm 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

解题步骤 3.7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.7.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

解题步骤 3.7.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

解题步骤 3.7.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

$y = - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

$y = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

$y = - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

$y = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

$y = - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $P^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

解题步骤 5

验证 $P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$ 是否为 $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ 和 $P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, 2400]$

解题步骤 5.3

求 $1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{- x + 2400}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$- x + 2400 \geq 0$

解题步骤 5.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

从不等式两边同时减去 $2400$ 。

$- x \geq - 2400$

解题步骤 5.3.2.2

将 $- x \geq - 2400$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.2.1

将 $- x \geq - 2400$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 2400}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 2400}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{- 2400}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.2.3.1

用 $- 2400$ 除以 $- 1$ 。

$x \leq 2400$

解题步骤 5.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, 2400]$

解题步骤 5.4

求 $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ 的定义域。

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解题步骤 5.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.5

由于 $P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$ 的定义域为 $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ 的值域，而 $P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$ 的值域又为 $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ 的定义域，因此 $P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$ 为 $P (x) = - 0.4 x^{2} + 80 \cdot 50 - 1600$ 的反函数。

$P^{- 1} (x) = 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}, - 1.58113883 \sqrt{- x + 2400}$

解题步骤 6

有限数学 示例

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