有限数学示例

$h (x) = x^{5} + 9$

解题步骤 1

将 $h (x) = x^{5} + 9$ 写为等式。

$y = x^{5} + 9$

解题步骤 2

交换变量。

$x = y^{5} + 9$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $y^{5} + 9 = x$ 。

$y^{5} + 9 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $9$ 。

$y^{5} = x - 9$

解题步骤 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[5]{x - 9}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $h^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$h^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x - 9}$

解题步骤 5

验证 $h^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x - 9}$ 是否为 $h (x) = x^{5} + 9$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $h^{- 1} (h (x)) = x$ 和 $h (h^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $h^{- 1} (h (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$h^{- 1} (h (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $h$ 的值代入 $h^{- 1}$ 来计算 $h^{- 1} (x^{5} + 9)$ 。

$h^{- 1} (x^{5} + 9) = \sqrt[5]{(x^{5} + 9) - 9}$

解题步骤 5.2.3

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$h^{- 1} (x^{5} + 9) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

解题步骤 5.2.4

将 $x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$h^{- 1} (x^{5} + 9) = \sqrt[5]{x^{5}}$

解题步骤 5.2.5

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$h^{- 1} (x^{5} + 9) = x$

解题步骤 5.3

计算 $h (h^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$h (h^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $h^{- 1}$ 的值代入 $h$ 来计算 $h (\sqrt[5]{x - 9})$ 。

$h (\sqrt[5]{x - 9}) = {(\sqrt[5]{x - 9})}^{5} + 9$

解题步骤 5.3.3

将 ${\sqrt[5]{x - 9}}^{5}$ 重写为 $x - 9$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{x - 9}$ 重写成 ${(x - 9)}^{\frac{1}{5}}$ 。

$h (\sqrt[5]{x - 9}) = {({(x - 9)}^{\frac{1}{5}})}^{5} + 9$

解题步骤 5.3.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$h (\sqrt[5]{x - 9}) = {(x - 9)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 9$

解题步骤 5.3.3.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$h (\sqrt[5]{x - 9}) = {(x - 9)}^{\frac{5}{5}} + 9$

解题步骤 5.3.3.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.4.1

约去公因数。

$h (\sqrt[5]{x - 9}) = {(x - 9)}^{\frac{5}{5}} + 9$

解题步骤 5.3.3.4.2

重写表达式。

$h (\sqrt[5]{x - 9}) = (x - 9) + 9$

解题步骤 5.3.3.5

化简。

$h (\sqrt[5]{x - 9}) = x - 9 + 9$

解题步骤 5.3.4

合并 $x - 9 + 9$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- 9$ 和 $9$ 相加。

$h (\sqrt[5]{x - 9}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$h (\sqrt[5]{x - 9}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $h^{- 1} (h (x)) = x$ 和 $h (h^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $h^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x - 9}$ 为 $h (x) = x^{5} + 9$ 的反函数。

$h^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x - 9}$

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