有限数学示例

f (x) = sin (\sqrt{e^{x} + 1})

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

解题步骤 1

将

f (x) = sin (\sqrt{e^{x} + 1})

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ 写为等式。

y = sin (\sqrt{e^{x} + 1})

$y = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

解题步骤 2

交换变量。

x = sin (\sqrt{e^{y} + 1})

$x = \sin (\sqrt{e^{y} + 1})$

解题步骤 3

求解

y

$y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将方程重写为

sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$ 。

sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$

解题步骤 3.2

代入

u

$u$ 替换

\sqrt{e^{y} + 1}

$\sqrt{e^{y} + 1}$ 。

sin (u) = x

$\sin (u) = x$

解题步骤 3.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的

u

$u$ 。

u = arcsin (x)

$u = \arcsin (x)$

解题步骤 3.4

将

\sqrt{e^{y} + 1}

$\sqrt{e^{y} + 1}$ 代入

u

$u$ ，并求解

\sqrt{e^{y} + 1} = arcsin (x)

$\sqrt{e^{y} + 1} = \arcsin (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

{\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {arcsin (x)}^{2}

${\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

解题步骤 3.4.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.1

使用

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt{e^{y} + 1}$ 重写成

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.2.1

化简

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.2.1.1

将

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.1.2

约去

$2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(e^{y} + 1)}^{1} = {\arcsin (x)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

化简。

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3

求解

$y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.1

从等式两边同时减去

$1$ 。

$e^{y} = {\arcsin (x)}^{2} - 1$

解题步骤 3.4.3.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y}) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

解题步骤 3.4.3.3

展开左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.3.1

通过将

$y$ 移到对数外来展开

$\ln (e^{y})$ 。

$y \ln (e) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

解题步骤 3.4.3.3.2

$e$ 的自然对数为

$1$ 。

$y \cdot 1 = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

解题步骤 3.4.3.3.3

将

$y$ 乘以

$1$ 。

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

解题步骤 4

使用

$f^{- 1} (x)$ 替换

$y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

解题步骤 5

验证

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ 是否为

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 和

$f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算

$f^{- 1} (f (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将

$f$ 的值代入

$f^{- 1}$ 来计算

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))$ 。

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = \ln ({\arcsin (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)$

解题步骤 5.3

计算

$f (f^{- 1} (x))$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将

$f^{- 1}$ 的值代入

$f$ 来计算

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1))$ 。

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{e^{\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)} + 1})$

解题步骤 5.3.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} - 1 + 1})$

解题步骤 5.3.4

将

$- 1$ 和

$1$ 相加。

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} + 0})$

解题步骤 5.3.5

将

${\arcsin (x)}^{2}$ 和

$0$ 相加。

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2}})$

解题步骤 5.3.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 5.3.7

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = x$

解题步骤 5.4

由于

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 和

$f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ 为

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

有限数学 示例

有限数学示例