有限数学示例

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ 写为等式。

$y = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sin (\sqrt{e^{y} + 1})$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$ 。

$\sin (\sqrt{e^{y} + 1}) = x$

解题步骤 3.2

代入 $u$ 替换 $\sqrt{e^{y} + 1}$ 。

$\sin (u) = x$

解题步骤 3.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $u$ 。

$u = \arcsin (x)$

解题步骤 3.4

将 $\sqrt{e^{y} + 1}$ 代入 $u$ ，并求解 $\sqrt{e^{y} + 1} = \arcsin (x)$ 。

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解题步骤 3.4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{e^{y} + 1}}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

解题步骤 3.4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{e^{y} + 1}$ 重写成 ${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arcsin (x)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

化简 ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

将 ${({(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(e^{y} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arcsin (x)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(e^{y} + 1)}^{1} = {\arcsin (x)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

化简。

$e^{y} + 1 = {\arcsin (x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$e^{y} = {\arcsin (x)}^{2} - 1$

解题步骤 3.4.3.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{y}) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

解题步骤 3.4.3.3

展开左边。

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解题步骤 3.4.3.3.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{y})$ 。

$y \ln (e) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

解题步骤 3.4.3.3.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$y \cdot 1 = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

解题步骤 3.4.3.3.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$y = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ 是否为 $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))$ 。

$f^{- 1} (\sin (\sqrt{e^{x} + 1})) = \ln ({\arcsin (\sin (\sqrt{e^{x} + 1}))}^{2} - 1)$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1))$ 。

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{e^{\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)} + 1})$

解题步骤 5.3.3

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} - 1 + 1})$

解题步骤 5.3.4

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2} + 0})$

解题步骤 5.3.5

将 ${\arcsin (x)}^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\sqrt{{\arcsin (x)}^{2}})$

解题步骤 5.3.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = \sin (\arcsin (x))$

解题步骤 5.3.7

正弦函数和反正弦函数互为反函数。

$f (\ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$ 为 $f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \ln ({\arcsin (x)}^{2} - 1)$

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