有限数学示例

$f (x) = 1.5 x^{2} - 4$

解题步骤 1

将 $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ 写为等式。

$y = 1.5 x^{2} - 4$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 1.5 y^{2} - 4$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $1.5 y^{2} - 4 = x$ 。

$1.5 y^{2} - 4 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$1.5 y^{2} = x + 4$

解题步骤 3.3

将 $1.5 y^{2} = x + 4$ 中的每一项除以 $1.5$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $1.5 y^{2} = x + 4$ 中的每一项都除以 $1.5$ 。

$\frac{1.5 y^{2}}{1.5} = \frac{x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $1.5$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1.5 y^{2}}{1.5} = \frac{x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

乘以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{1 x}{1.5} + \frac{4}{1.5}$

解题步骤 3.3.3.1.2

从 $1.5$ 中分解出因数 $1.5$ 。

$y^{2} = \frac{1 x}{1.5 (1)} + \frac{4}{1.5}$

解题步骤 3.3.3.1.3

分离分数。

$y^{2} = \frac{1}{1.5} \cdot \frac{x}{1} + \frac{4}{1.5}$

解题步骤 3.3.3.1.4

用 $1$ 除以 $1.5$ 。

$y^{2} = 0.\overline{6} \frac{x}{1} + \frac{4}{1.5}$

解题步骤 3.3.3.1.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = 0.\overline{6} x + \frac{4}{1.5}$

解题步骤 3.3.3.1.6

用 $4$ 除以 $1.5$ 。

$y^{2} = 0.\overline{6} x + 2.\overline{6}$

解题步骤 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

解题步骤 3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

解题步骤 3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

解题步骤 3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

$y = - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ 是否为 $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ 和 $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[- 4, \infty)$

解题步骤 5.3

求 $\sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$0.\overline{6} x + 2.\overline{6} \geq 0$

解题步骤 5.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

从不等式两边同时减去 $2.\overline{6}$ 。

$0.\overline{6} x \geq - 2.\overline{6}$

解题步骤 5.3.2.2

将 $0.\overline{6} x \geq - 2.\overline{6}$ 中的每一项除以 $0.\overline{6}$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.2.1

将 $0.\overline{6} x \geq - 2.\overline{6}$ 中的每一项都除以 $0.\overline{6}$ 。

$\frac{0.\overline{6} x}{0.\overline{6}} \geq \frac{- 2.\overline{6}}{0.\overline{6}}$

解题步骤 5.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.2.1

约去 $0.\overline{6}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{0.\overline{6} x}{0.\overline{6}} \geq \frac{- 2.\overline{6}}{0.\overline{6}}$

解题步骤 5.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{- 2.\overline{6}}{0.\overline{6}}$

解题步骤 5.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.2.3.1

用 $- 2.\overline{6}$ 除以 $0.\overline{6}$ 。

$x \geq - 4$

解题步骤 5.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[- 4, \infty)$

解题步骤 5.4

因为 $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ 的定义域并不等于 $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}, - \sqrt{0.\overline{6} x + 2.\overline{6}}$ 并非 $f (x) = 1.5 x^{2} - 4$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 6

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