有限数学示例

$f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ 写为等式。

$y = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{8 y}{y^{2} - 64}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程乘以 $y^{2} - 64$ 。

$(y^{2} - 64) (x) = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$y^{2} x - 64 x = (\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 $(\frac{8 y}{y^{2} - 64}) (y^{2} - 64)$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

化简分母。

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解题步骤 3.3.1.1.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{y^{2} - 8^{2}} (y^{2} - 64)$

解题步骤 3.3.1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 8$ 。

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)} (y^{2} - 64)$

解题步骤 3.3.1.2

将 $\frac{8 y}{(y + 8) (y - 8)}$ 乘以 $y^{2} - 64$ 。

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 64)}{(y + 8) (y - 8)}$

解题步骤 3.3.1.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1.3.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y^{2} - 8^{2})}{(y + 8) (y - 8)}$

解题步骤 3.3.1.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 8$ 。

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

解题步骤 3.3.1.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.3.1.4.1

约去 $y + 8$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.4.1.1

约去公因数。

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y + 8) (y - 8)}{(y + 8) (y - 8)}$

解题步骤 3.3.1.4.1.2

重写表达式。

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

解题步骤 3.3.1.4.2

约去 $y - 8$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.4.2.1

约去公因数。

$y^{2} x - 64 x = \frac{8 y (y - 8)}{y - 8}$

解题步骤 3.3.1.4.2.2

用 $8 y$ 除以 $1$ 。

$y^{2} x - 64 x = 8 y$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $8 y$ 。

$y^{2} x - 64 x - 8 y = 0$

解题步骤 3.4.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.4.3

将 $a = x$ 、 $b = - 8$ 和 $c = - 64 x$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (- 64 x))}}{2 x}$

解题步骤 3.4.4

化简。

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解题步骤 3.4.4.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.4.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

解题步骤 3.4.4.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

解题步骤 3.4.4.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.4.1.3.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

解题步骤 3.4.4.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

解题步骤 3.4.4.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 64$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

解题步骤 3.4.4.1.5

从 $64 + 256 x^{2}$ 中分解出因数 $64$ 。

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解题步骤 3.4.4.1.5.1

从 $64$ 中分解出因数 $64$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

解题步骤 3.4.4.1.5.2

从 $256 x^{2}$ 中分解出因数 $64$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

解题步骤 3.4.4.1.5.3

从 $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ 中分解出因数 $64$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

解题步骤 3.4.4.1.6

将 $64 (1 + 4 x^{2})$ 重写为 $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ 。

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解题步骤 3.4.4.1.6.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

解题步骤 3.4.4.1.6.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

解题步骤 3.4.4.1.7

从根式下提出各项。

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

解题步骤 3.4.4.1.8

一的任意次幂都为一。

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

解题步骤 3.4.4.2

化简 $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ 。

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.4.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.4.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.5.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

解题步骤 3.4.5.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

解题步骤 3.4.5.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.5.1.3.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

解题步骤 3.4.5.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

解题步骤 3.4.5.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 64$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

解题步骤 3.4.5.1.5

从 $64 + 256 x^{2}$ 中分解出因数 $64$ 。

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解题步骤 3.4.5.1.5.1

从 $64$ 中分解出因数 $64$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

解题步骤 3.4.5.1.5.2

从 $256 x^{2}$ 中分解出因数 $64$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

解题步骤 3.4.5.1.5.3

从 $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ 中分解出因数 $64$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

解题步骤 3.4.5.1.6

将 $64 (1 + 4 x^{2})$ 重写为 $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ 。

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解题步骤 3.4.5.1.6.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

解题步骤 3.4.5.1.6.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

解题步骤 3.4.5.1.7

从根式下提出各项。

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

解题步骤 3.4.5.1.8

一的任意次幂都为一。

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

解题步骤 3.4.5.2

化简 $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ 。

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.4.5.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.4.5.4

从 $4 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.4.5.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.4.5.4.2

从 $4 \cdot 1 + 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.4.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.4.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.6.1.1

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot x \cdot (- 64 x)}}{2 x}$

解题步骤 3.4.6.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x \cdot x)}}{2 x}$

解题步骤 3.4.6.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.6.1.3.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 (x \cdot x))}}{2 x}$

解题步骤 3.4.6.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot (- 64 x^{2})}}{2 x}$

解题步骤 3.4.6.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 64$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 256 x^{2}}}{2 x}$

解题步骤 3.4.6.1.5

从 $64 + 256 x^{2}$ 中分解出因数 $64$ 。

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解题步骤 3.4.6.1.5.1

从 $64$ 中分解出因数 $64$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 256 x^{2}}}{2 x}$

解题步骤 3.4.6.1.5.2

从 $256 x^{2}$ 中分解出因数 $64$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1) + 64 (4 x^{2})}}{2 x}$

解题步骤 3.4.6.1.5.3

从 $64 (1) + 64 (4 x^{2})$ 中分解出因数 $64$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{64 (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

解题步骤 3.4.6.1.6

将 $64 (1 + 4 x^{2})$ 重写为 $8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})$ 。

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解题步骤 3.4.6.1.6.1

将 $64$ 重写为 $8^{2}$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1 + 4 x^{2})}}{2 x}$

解题步骤 3.4.6.1.6.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$y = \frac{8 \pm \sqrt{8^{2} (1^{2} + 4 x^{2})}}{2 x}$

解题步骤 3.4.6.1.7

从根式下提出各项。

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1^{2} + 4 x^{2}}}{2 x}$

解题步骤 3.4.6.1.8

一的任意次幂都为一。

$y = \frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$

解题步骤 3.4.6.2

化简 $\frac{8 \pm 8 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2 x}$ 。

$y = \frac{4 \pm 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.4.6.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.4.6.4

从 $4 - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.4.6.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (1) - 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}}{x}$

解题步骤 3.4.6.4.2

从 $- 4 \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.4.6.4.3

从 $4 (1) + 4 (- \sqrt{1 + 4 x^{2}})$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

解题步骤 3.4.7

最终答案为两个解的组合。

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

$y = \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ 是否为 $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.3

求 $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$1 + 4 x^{2} \geq 0$

解题步骤 5.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$4 x^{2} \geq - 1$

解题步骤 5.3.2.2

将 $4 x^{2} \geq - 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.2.1

将 $4 x^{2} \geq - 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

解题步骤 5.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{2}}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

解题步骤 5.3.2.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \geq \frac{- 1}{4}$

解题步骤 5.3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} \geq - \frac{1}{4}$

解题步骤 5.3.2.3

因为左边为偶次幂，所以对所有实数都为正。

所有实数

解题步骤 5.3.3

将 $\frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 5.3.4

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 5.4

因为 $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ 的定义域并不等于 $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = \frac{4 (1 + \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}, \frac{4 (1 - \sqrt{1 + 4 x^{2}})}{x}$ 并非 $f (x) = \frac{8 x}{x^{2} - 64}$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 6

有限数学 示例

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