有限数学示例

$y = 9^{x}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = 9^{y}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 $9^{y} = x$ 。

$9^{y} = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (9^{y}) = \ln (x)$

解题步骤 2.3

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (9^{y})$ 。

$y \ln (9) = \ln (x)$

解题步骤 2.4

将 $y \ln (9) = \ln (x)$ 中的每一项除以 $\ln (9)$ 并化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $y \ln (9) = \ln (x)$ 中的每一项都除以 $\ln (9)$ 。

$\frac{y \ln (9)}{\ln (9)} = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$

解题步骤 2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $\ln (9)$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (9)}{\ln (9)} = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$

解题步骤 2.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$ 是否为 $f (x) = 9^{x}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} \cdot 9^{x}$ 。

$f^{- 1} \cdot 9^{x} = \frac{\ln (9^{x})}{\ln (9)}$

解题步骤 4.2.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (9^{x})$ 。

$f^{- 1} \cdot 9^{x} = \frac{x \ln (9)}{\ln (9)}$

解题步骤 4.2.4

约去 $\ln (9)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} \cdot 9^{x} = \frac{x \ln (9)}{\ln (9)}$

解题步骤 4.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} \cdot 9^{x} = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\ln (x)}{\ln (9)})$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (9)}) = 9^{\frac{\ln (x)}{\ln (9)}}$

解题步骤 4.3.3

使用换底公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (9)}) = 9^{\log_{9} (x)}$

解题步骤 4.3.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (9)}) = x$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$ 为 $f (x) = 9^{x}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (9)}$

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