有限数学示例

f (x) = x^{2} - 1

$f (x) = x^{2} - 1$

解题步骤 1

求

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ 的形式，其中

p

$p$ 为常数的因数，而

q

$q$ 为首项系数的因数。

p = \pm 1

$p = \pm 1$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

解题步骤 1.2

求

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

\pm 1

$\pm 1$

\pm 1

$\pm 1$

解题步骤 2

当

x = 1

$x = 1$ 时，对

\frac{x^{2} - 1}{x - 1}

$\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ 使用综合除法。

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解题步骤 2.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$

解题步骤 2.2

将被除数

(1)

$(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$

	$1$ $1$

解题步骤 2.3

将结果

(1)

$(1)$ 中的最新项乘以除数

(1)

$(1)$ 并将

(1)

$(1)$ 的结果置于被除数

(0)

$(0)$ 的下一项下方。

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$
	$1$ $1$

解题步骤 2.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$
	$1$ $1$	$1$ $1$

解题步骤 2.5

将结果

(1)

$(1)$ 中的最新项乘以除数

(1)

$(1)$ 并将

(1)

$(1)$ 的结果置于被除数

(- 1)

$(- 1)$ 的下一项下方。

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$1$ $1$

解题步骤 2.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$1$ $1$	$0$ $0$

解题步骤 2.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

(1) x + 1

$(1) x + 1$

解题步骤 2.8

化简商多项式。

x + 1

$x + 1$

x + 1

$x + 1$

解题步骤 3

因为

1 > 0

$1 > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以

1

$1$ 是函数实根的上界。

上界：

1

$1$

解题步骤 4

当

x = - 1

$x = - 1$ 时，对

\frac{x^{2} - 1}{x + 1}

$\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ 使用综合除法。

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解题步骤 4.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$

解题步骤 4.2

将被除数

(1)

$(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$

	$1$ $1$

解题步骤 4.3

将结果

(1)

$(1)$ 中的最新项乘以除数

(- 1)

$(- 1)$ 并将

(- 1)

$(- 1)$ 的结果置于被除数

(0)

$(0)$ 的下一项下方。

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$

解题步骤 4.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

解题步骤 4.5

将结果

(- 1)

$(- 1)$ 中的最新项乘以除数

(- 1)

$(- 1)$ 并将

(1)

$(1)$ 的结果置于被除数

(- 1)

$(- 1)$ 的下一项下方。

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$- 1$ $- 1$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

解题步骤 4.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 1$ $- 1$	$1$ $1$	$0$ $0$	$- 1$ $- 1$
		$- 1$ $- 1$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$0$ $0$

解题步骤 4.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

(1) x - 1

$(1) x - 1$

解题步骤 4.8

化简商多项式。

x - 1

$x - 1$

x - 1

$x - 1$

解题步骤 5

因为

- 1 < 0

$- 1 < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以

- 1

$- 1$ 是函数实根的下界。

下界：

- 1

$- 1$

解题步骤 6

确定上界与下界。

上界：

1

$1$

下界：

- 1

$- 1$

解题步骤 7

有限数学 示例

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