有限数学示例

f (x) = - x^{2} + 6 x^{2} - 9 x + 6

$f (x) = - x^{2} + 6 x^{2} - 9 x + 6$

解题步骤 1

将

- x^{2}

$- x^{2}$ 和

6 x^{2}

$6 x^{2}$ 相加。

f (x) = 5 x^{2} - 9 x + 6

$f (x) = 5 x^{2} - 9 x + 6$

解题步骤 2

求

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。

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解题步骤 2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ 的形式，其中

p

$p$ 为常数的因数，而

q

$q$ 为首项系数的因数。

p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

q = \pm 1, \pm 5

$q = \pm 1, \pm 5$

解题步骤 2.2

求

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 3, \pm \frac{3}{5}, \pm 6, \pm \frac{6}{5}

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 3, \pm \frac{3}{5}, \pm 6, \pm \frac{6}{5}$

\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 3, \pm \frac{3}{5}, \pm 6, \pm \frac{6}{5}

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 3, \pm \frac{3}{5}, \pm 6, \pm \frac{6}{5}$

解题步骤 3

当

x = - 1

$x = - 1$ 时，对

\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 1}

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 1}$ 使用综合除法。

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解题步骤 3.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 1$ $- 1$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$

解题步骤 3.2

将被除数

(5)

$(5)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 1$ $- 1$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$

	$5$ $5$

解题步骤 3.3

将结果

(5)

$(5)$ 中的最新项乘以除数

(- 1)

$(- 1)$ 并将

(- 5)

$(- 5)$ 的结果置于被除数

(- 9)

$(- 9)$ 的下一项下方。

$- 1$ $- 1$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$ $6$
		$- 5$ $- 5$
	$5$ $5$

解题步骤 3.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 1$ $- 1$	$5$ $5$	$- 9$ $- 9$	$6$
		$- 5$
	$5$	$- 14$

解题步骤 3.5

将结果

$(- 14)$ 中的最新项乘以除数

$(- 1)$ 并将

$(14)$ 的结果置于被除数

$(6)$ 的下一项下方。

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 5$	$14$
	$5$	$- 14$

解题步骤 3.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 1$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 5$	$14$
	$5$	$- 14$	$20$

解题步骤 3.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$(5) x - 14 + \frac{20}{x + 1}$

解题步骤 3.8

化简商多项式。

$5 x - 14 + \frac{20}{x + 1}$

解题步骤 4

因为

$- 1 < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以

$- 1$ 是函数实根的下界。

下界：

$- 1$

解题步骤 5

当

$x = - \frac{1}{5}$ 时，对

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{1}{5}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 5.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

解题步骤 5.2

将被除数

$(5)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

解题步骤 5.3

将结果

$(5)$ 中的最新项乘以除数

$(- \frac{1}{5})$ 并将

$(- 1)$ 的结果置于被除数

$(- 9)$ 的下一项下方。

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$
	$5$

解题步骤 5.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$
	$5$	$- 10$

解题步骤 5.5

将结果

$(- 10)$ 中的最新项乘以除数

$(- \frac{1}{5})$ 并将

$(2)$ 的结果置于被除数

$(6)$ 的下一项下方。

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$	$2$
	$5$	$- 10$

解题步骤 5.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{1}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 1$	$2$
	$5$	$- 10$	$8$

解题步骤 5.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$(5) x - 10 + \frac{8}{x + \frac{1}{5}}$

解题步骤 5.8

化简商多项式。

$5 x - 10 + \frac{40}{5 x + 1}$

解题步骤 6

因为

$- \frac{1}{5} < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以

$- \frac{1}{5}$ 是函数实根的下界。

下界：

$- \frac{1}{5}$

解题步骤 7

当

$x = 2$ 时，对

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 2}$ 使用综合除法。

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解题步骤 7.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$2$	$5$	$- 9$	$6$

解题步骤 7.2

将被除数

$(5)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$2$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

解题步骤 7.3

将结果

$(5)$ 中的最新项乘以除数

$(2)$ 并将

$(10)$ 的结果置于被除数

$(- 9)$ 的下一项下方。

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$
	$5$

解题步骤 7.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$
	$5$	$1$

解题步骤 7.5

将结果

$(1)$ 中的最新项乘以除数

$(2)$ 并将

$(2)$ 的结果置于被除数

$(6)$ 的下一项下方。

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$	$2$
	$5$	$1$

解题步骤 7.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$2$	$5$	$- 9$	$6$
		$10$	$2$
	$5$	$1$	$8$

解题步骤 7.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$(5) x + 1 + \frac{8}{x - 2}$

解题步骤 7.8

化简商多项式。

$5 x + 1 + \frac{8}{x - 2}$

解题步骤 8

因为

$2 > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以

$2$ 是函数实根的上界。

上界：

$2$

解题步骤 9

当

$x = - 2$ 时，对

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 2}$ 使用综合除法。

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解题步骤 9.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$

解题步骤 9.2

将被除数

$(5)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

解题步骤 9.3

将结果

$(5)$ 中的最新项乘以除数

$(- 2)$ 并将

$(- 10)$ 的结果置于被除数

$(- 9)$ 的下一项下方。

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$
	$5$

解题步骤 9.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$
	$5$	$- 19$

解题步骤 9.5

将结果

$(- 19)$ 中的最新项乘以除数

$(- 2)$ 并将

$(38)$ 的结果置于被除数

$(6)$ 的下一项下方。

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$	$38$
	$5$	$- 19$

解题步骤 9.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 2$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 10$	$38$
	$5$	$- 19$	$44$

解题步骤 9.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$(5) x - 19 + \frac{44}{x + 2}$

解题步骤 9.8

化简商多项式。

$5 x - 19 + \frac{44}{x + 2}$

解题步骤 10

因为

$- 2 < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以

$- 2$ 是函数实根的下界。

下界：

$- 2$

解题步骤 11

当

$x = - \frac{2}{5}$ 时，对

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{2}{5}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 11.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

解题步骤 11.2

将被除数

$(5)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

解题步骤 11.3

将结果

$(5)$ 中的最新项乘以除数

$(- \frac{2}{5})$ 并将

$(- 2)$ 的结果置于被除数

$(- 9)$ 的下一项下方。

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$
	$5$

解题步骤 11.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$
	$5$	$- 11$

解题步骤 11.5

将结果

$(- 11)$ 中的最新项乘以除数

$(- \frac{2}{5})$ 并将

$(\frac{22}{5})$ 的结果置于被除数

$(6)$ 的下一项下方。

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$	$\frac{22}{5}$
	$5$	$- 11$

解题步骤 11.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{2}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 2$	$\frac{22}{5}$
	$5$	$- 11$	$\frac{52}{5}$

解题步骤 11.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$(5) x - 11 + \frac{\frac{52}{5}}{x + \frac{2}{5}}$

解题步骤 11.8

化简商多项式。

$5 x - 11 + \frac{52}{5 x + 2}$

解题步骤 12

因为

$- \frac{2}{5} < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以

$- \frac{2}{5}$ 是函数实根的下界。

下界：

$- \frac{2}{5}$

解题步骤 13

当

$x = 3$ 时，对

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 3}$ 使用综合除法。

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解题步骤 13.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$3$	$5$	$- 9$	$6$

解题步骤 13.2

将被除数

$(5)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$3$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

解题步骤 13.3

将结果

$(5)$ 中的最新项乘以除数

$(3)$ 并将

$(15)$ 的结果置于被除数

$(- 9)$ 的下一项下方。

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$
	$5$

解题步骤 13.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$
	$5$	$6$

解题步骤 13.5

将结果

$(6)$ 中的最新项乘以除数

$(3)$ 并将

$(18)$ 的结果置于被除数

$(6)$ 的下一项下方。

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$	$18$
	$5$	$6$

解题步骤 13.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$3$	$5$	$- 9$	$6$
		$15$	$18$
	$5$	$6$	$24$

解题步骤 13.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$(5) x + 6 + \frac{24}{x - 3}$

解题步骤 13.8

化简商多项式。

$5 x + 6 + \frac{24}{x - 3}$

解题步骤 14

因为

$3 > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以

$3$ 是函数实根的上界。

上界：

$3$

解题步骤 15

当

$x = - 3$ 时，对

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 3}$ 使用综合除法。

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解题步骤 15.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$

解题步骤 15.2

将被除数

$(5)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

解题步骤 15.3

将结果

$(5)$ 中的最新项乘以除数

$(- 3)$ 并将

$(- 15)$ 的结果置于被除数

$(- 9)$ 的下一项下方。

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$
	$5$

解题步骤 15.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$
	$5$	$- 24$

解题步骤 15.5

将结果

$(- 24)$ 中的最新项乘以除数

$(- 3)$ 并将

$(72)$ 的结果置于被除数

$(6)$ 的下一项下方。

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$	$72$
	$5$	$- 24$

解题步骤 15.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 3$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 15$	$72$
	$5$	$- 24$	$78$

解题步骤 15.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$(5) x - 24 + \frac{78}{x + 3}$

解题步骤 15.8

化简商多项式。

$5 x - 24 + \frac{78}{x + 3}$

解题步骤 16

因为

$- 3 < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以

$- 3$ 是函数实根的下界。

下界：

$- 3$

解题步骤 17

当

$x = - \frac{3}{5}$ 时，对

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{3}{5}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 17.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

解题步骤 17.2

将被除数

$(5)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

解题步骤 17.3

将结果

$(5)$ 中的最新项乘以除数

$(- \frac{3}{5})$ 并将

$(- 3)$ 的结果置于被除数

$(- 9)$ 的下一项下方。

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$
	$5$

解题步骤 17.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$
	$5$	$- 12$

解题步骤 17.5

将结果

$(- 12)$ 中的最新项乘以除数

$(- \frac{3}{5})$ 并将

$(\frac{36}{5})$ 的结果置于被除数

$(6)$ 的下一项下方。

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$	$\frac{36}{5}$
	$5$	$- 12$

解题步骤 17.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{3}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 3$	$\frac{36}{5}$
	$5$	$- 12$	$\frac{66}{5}$

解题步骤 17.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$(5) x - 12 + \frac{\frac{66}{5}}{x + \frac{3}{5}}$

解题步骤 17.8

化简商多项式。

$5 x - 12 + \frac{66}{5 x + 3}$

解题步骤 18

因为

$- \frac{3}{5} < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以

$- \frac{3}{5}$ 是函数实根的下界。

下界：

$- \frac{3}{5}$

解题步骤 19

当

$x = 6$ 时，对

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x - 6}$ 使用综合除法。

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解题步骤 19.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$6$	$5$	$- 9$	$6$

解题步骤 19.2

将被除数

$(5)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$6$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

解题步骤 19.3

将结果

$(5)$ 中的最新项乘以除数

$(6)$ 并将

$(30)$ 的结果置于被除数

$(- 9)$ 的下一项下方。

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$
	$5$

解题步骤 19.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$
	$5$	$21$

解题步骤 19.5

将结果

$(21)$ 中的最新项乘以除数

$(6)$ 并将

$(126)$ 的结果置于被除数

$(6)$ 的下一项下方。

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$	$126$
	$5$	$21$

解题步骤 19.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$6$	$5$	$- 9$	$6$
		$30$	$126$
	$5$	$21$	$132$

解题步骤 19.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$(5) x + 21 + \frac{132}{x - 6}$

解题步骤 19.8

化简商多项式。

$5 x + 21 + \frac{132}{x - 6}$

解题步骤 20

因为

$6 > 0$ 且综合除法末行的所有符号都是正号，所以

$6$ 是函数实根的上界。

上界：

$6$

解题步骤 21

当

$x = - 6$ 时，对

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + 6}$ 使用综合除法。

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解题步骤 21.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$

解题步骤 21.2

将被除数

$(5)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

解题步骤 21.3

将结果

$(5)$ 中的最新项乘以除数

$(- 6)$ 并将

$(- 30)$ 的结果置于被除数

$(- 9)$ 的下一项下方。

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$
	$5$

解题步骤 21.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$
	$5$	$- 39$

解题步骤 21.5

将结果

$(- 39)$ 中的最新项乘以除数

$(- 6)$ 并将

$(234)$ 的结果置于被除数

$(6)$ 的下一项下方。

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$	$234$
	$5$	$- 39$

解题步骤 21.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 6$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 30$	$234$
	$5$	$- 39$	$240$

解题步骤 21.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$(5) x - 39 + \frac{240}{x + 6}$

解题步骤 21.8

化简商多项式。

$5 x - 39 + \frac{240}{x + 6}$

解题步骤 22

因为

$- 6 < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以

$- 6$ 是函数实根的下界。

下界：

$- 6$

解题步骤 23

当

$x = - \frac{6}{5}$ 时，对

$\frac{5 x^{2} - 9 x + 6}{x + \frac{6}{5}}$ 使用综合除法。

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解题步骤 23.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

解题步骤 23.2

将被除数

$(5)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$

	$5$

解题步骤 23.3

将结果

$(5)$ 中的最新项乘以除数

$(- \frac{6}{5})$ 并将

$(- 6)$ 的结果置于被除数

$(- 9)$ 的下一项下方。

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$
	$5$

解题步骤 23.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$
	$5$	$- 15$

解题步骤 23.5

将结果

$(- 15)$ 中的最新项乘以除数

$(- \frac{6}{5})$ 并将

$(18)$ 的结果置于被除数

$(6)$ 的下一项下方。

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$	$18$
	$5$	$- 15$

解题步骤 23.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- \frac{6}{5}$	$5$	$- 9$	$6$
		$- 6$	$18$
	$5$	$- 15$	$24$

解题步骤 23.7

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$(5) x - 15 + \frac{24}{x + \frac{6}{5}}$

解题步骤 23.8

化简商多项式。

$5 x - 15 + \frac{120}{5 x + 6}$

解题步骤 24

因为

$- \frac{6}{5} < 0$ 且综合除法末行的符号是正号和负号交替出现，所以

$- \frac{6}{5}$ 是函数实根的下界。

下界：

$- \frac{6}{5}$

解题步骤 25

确定上界与下界。

上界：

$2, 3, 6$

下界：

$- 1, - \frac{1}{5}, - 2, - \frac{2}{5}, - 3, - \frac{3}{5}, - 6, - \frac{6}{5}$

解题步骤 26

有限数学 示例

有限数学示例