有限数学示例

${(2 p - q)}^{6}$

解题步骤 1

帕斯卡三角形可以显示为：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

通过取指数 $n$ 并和 $1$ 相加，该三角形可用于计算 ${(a + b)}^{n}$ 的展开系数。这些系数将对应三角形的直线 $n + 1$ 。因为 ${(2 p - q)}^{6}$ , $n = 6$ ，所以展开系数将对应直线 $7$ 。

解题步骤 2

展开式符合这个规则 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 。从三角形可以得出它的系数值为 $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ 。

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

解题步骤 3

将 $a$ $2 p$ 和 $b$ $- q$ 的实际值代入表达式。

$1 {(2 p)}^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(2 p)}^{6}$ 乘以 $1$ 。

${(2 p)}^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.2

对 $2 p$ 运用乘积法则。

$2^{6} p^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.3

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$64 p^{6} {(- q)}^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.4

对 $- q$ 运用乘积法则。

$64 p^{6} ({(- 1)}^{0} q^{0}) + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.5

使用乘法的交换性质重写。

$64 \cdot {(- 1)}^{0} p^{6} q^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$64 \cdot 1 p^{6} q^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.7

将 $64$ 乘以 $1$ 。

$64 p^{6} q^{0} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.8

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$64 p^{6} \cdot 1 + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.9

将 $64$ 乘以 $1$ 。

$64 p^{6} + 6 {(2 p)}^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.10

对 $2 p$ 运用乘积法则。

$64 p^{6} + 6 (2^{5} p^{5}) {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.11

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$64 p^{6} + 6 (32 p^{5}) {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.12

将 $32$ 乘以 $6$ 。

$64 p^{6} + 192 p^{5} {(- q)}^{1} + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.13

化简。

$64 p^{6} + 192 p^{5} (- q) + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.14

使用乘法的交换性质重写。

$64 p^{6} + 192 \cdot - 1 p^{5} q + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.15

将 $192$ 乘以 $- 1$ 。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 15 {(2 p)}^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.16

对 $2 p$ 运用乘积法则。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 15 (2^{4} p^{4}) {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.17

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 15 (16 p^{4}) {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.18

将 $16$ 乘以 $15$ 。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} {(- q)}^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.19

对 $- q$ 运用乘积法则。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} ({(- 1)}^{2} q^{2}) + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.20

使用乘法的交换性质重写。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 \cdot {(- 1)}^{2} p^{4} q^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.21

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 \cdot 1 p^{4} q^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.22

将 $240$ 乘以 $1$ 。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 20 {(2 p)}^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.23

对 $2 p$ 运用乘积法则。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 20 (2^{3} p^{3}) {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.24

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 20 (8 p^{3}) {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.25

将 $8$ 乘以 $20$ 。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 p^{3} {(- q)}^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.26

对 $- q$ 运用乘积法则。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 p^{3} ({(- 1)}^{3} q^{3}) + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.27

使用乘法的交换性质重写。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 \cdot {(- 1)}^{3} p^{3} q^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.28

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} + 160 \cdot - 1 p^{3} q^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.29

将 $160$ 乘以 $- 1$ 。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 15 {(2 p)}^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.30

对 $2 p$ 运用乘积法则。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 15 (2^{2} p^{2}) {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.31

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 15 (4 p^{2}) {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.32

将 $4$ 乘以 $15$ 。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} {(- q)}^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.33

对 $- q$ 运用乘积法则。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} ({(- 1)}^{4} q^{4}) + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.34

使用乘法的交换性质重写。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 \cdot {(- 1)}^{4} p^{2} q^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.35

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 \cdot 1 p^{2} q^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.36

将 $60$ 乘以 $1$ 。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 6 {(2 p)}^{1} {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.37

化简。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 6 (2 p) {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.38

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 p {(- q)}^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.39

对 $- q$ 运用乘积法则。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 p ({(- 1)}^{5} q^{5}) + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.40

使用乘法的交换性质重写。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 \cdot {(- 1)}^{5} p q^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.41

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} + 12 \cdot - 1 p q^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.42

将 $12$ 乘以 $- 1$ 。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.43

将 ${(2 p)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + {(2 p)}^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.44

对 $2 p$ 运用乘积法则。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 2^{0} p^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.45

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 p^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.46

将 $p^{0}$ 乘以 $1$ 。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + p^{0} {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.47

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.48

将 ${(- q)}^{6}$ 乘以 $1$ 。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + {(- q)}^{6}$

解题步骤 4.49

对 $- q$ 运用乘积法则。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + {(- 1)}^{6} q^{6}$

解题步骤 4.50

对 $- 1$ 进行 $6$ 次方运算。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + 1 q^{6}$

解题步骤 4.51

将 $q^{6}$ 乘以 $1$ 。

$64 p^{6} - 192 p^{5} q + 240 p^{4} q^{2} - 160 p^{3} q^{3} + 60 p^{2} q^{4} - 12 p q^{5} + q^{6}$

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