有限数学示例

$3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 0$

$q = \pm 1, \pm 3$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$0$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

$3 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $b = 0$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

解题步骤 4.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$0 - 5 {(0)}^{2} + 2 (0)$

解题步骤 4.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 5 \cdot 0 + 2 (0)$

解题步骤 4.1.4

将 $- 5$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 2 (0)$

解题步骤 4.1.5

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0$

解题步骤 4.2

通过加上各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0$

解题步骤 4.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 5

因为 $0$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $b + 0$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b}{b + 0}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$

解题步骤 6.2

将被除数 $(3)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$

	$3$

解题步骤 6.3

将结果 $(3)$ 中的最新项乘以除数 $(0)$ 并将 $(0)$ 的结果置于被除数 $(- 5)$ 的下一项下方。

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$
	$3$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$
	$3$	$- 5$

解题步骤 6.5

将结果 $(- 5)$ 中的最新项乘以除数 $(0)$ 并将 $(0)$ 的结果置于被除数 $(2)$ 的下一项下方。

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$
	$3$	$- 5$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$

解题步骤 6.7

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(0)$ 并将 $(0)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$0$	$3$	$- 5$	$2$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$3$	$- 5$	$2$	$0$

解题步骤 6.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$3 b^{2} + - 5 b + 2$

解题步骤 6.10

化简商多项式。

$3 b^{2} - 5 b + 2$

解题步骤 7

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ 并且它们的和为 $b = - 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1.1

从 $- 5 b$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$(b + 0) + 3 b^{2} - 5 b + 2$

解题步骤 7.1.2

把 $- 5$ 重写为 $- 2$ 加 $- 3$

$(b + 0) + 3 b^{2} + (- 2 - 3) b + 2$

解题步骤 7.1.3

运用分配律。

$(b + 0) + 3 b^{2} - 2 b - 3 b + 2$

解题步骤 7.2

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(b + 0) (3 b^{2} - 2 b) - 3 b + 2$

解题步骤 7.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(b + 0) + b (3 b - 2) - (3 b - 2)$

解题步骤 7.3

通过因式分解出最大公因数 $3 b - 2$ 来因式分解多项式。

$(b + 0) + (3 b - 2) (b - 1)$

$(b + 0) (3 b - 2) (b - 1)$

解题步骤 8

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

从 $3 b^{3} - 5 b^{2} + 2 b$ 中分解出因数 $b$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1.1

从 $3 b^{3}$ 中分解出因数 $b$ 。

$b (3 b^{2}) - 5 b^{2} + 2 b = 0$

解题步骤 8.1.2

从 $- 5 b^{2}$ 中分解出因数 $b$ 。

$b (3 b^{2}) + b (- 5 b) + 2 b = 0$

解题步骤 8.1.3

从 $2 b$ 中分解出因数 $b$ 。

$b (3 b^{2}) + b (- 5 b) + b \cdot 2 = 0$

解题步骤 8.1.4

从 $b (3 b^{2}) + b (- 5 b)$ 中分解出因数 $b$ 。

$b (3 b^{2} - 5 b) + b \cdot 2 = 0$

解题步骤 8.1.5

从 $b (3 b^{2} - 5 b) + b \cdot 2$ 中分解出因数 $b$ 。

$b (3 b^{2} - 5 b + 2) = 0$

解题步骤 8.2

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ 并且它们的和为 $b = - 5$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1.1.1

从 $- 5 b$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$b (3 b^{2} - 5 b + 2) = 0$

解题步骤 8.2.1.1.2

把 $- 5$ 重写为 $- 2$ 加 $- 3$

$b (3 b^{2} + (- 2 - 3) b + 2) = 0$

解题步骤 8.2.1.1.3

运用分配律。

$b (3 b^{2} - 2 b - 3 b + 2) = 0$

解题步骤 8.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$b ((3 b^{2} - 2 b) - 3 b + 2) = 0$

解题步骤 8.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$b (b (3 b - 2) - (3 b - 2)) = 0$

解题步骤 8.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $3 b - 2$ 来因式分解多项式。

$b ((3 b - 2) (b - 1)) = 0$

解题步骤 8.2.2

去掉多余的括号。

$b (3 b - 2) (b - 1) = 0$

解题步骤 9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$b = 0$

$3 b - 2 = 0$

$b - 1 = 0$

解题步骤 10

将 $b$ 设为等于 $0$ 。

$b = 0$

解题步骤 11

将 $3 b - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $b$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

将 $3 b - 2$ 设为等于 $0$ 。

$3 b - 2 = 0$

解题步骤 11.2

求解 $b$ 的 $3 b - 2 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$3 b = 2$

解题步骤 11.2.2

将 $3 b = 2$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.2.1

将 $3 b = 2$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 b}{3} = \frac{2}{3}$

解题步骤 11.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 b}{3} = \frac{2}{3}$

解题步骤 11.2.2.2.1.2

用 $b$ 除以 $1$ 。

$b = \frac{2}{3}$

解题步骤 12

将 $b - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $b$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 12.1

将 $b - 1$ 设为等于 $0$ 。

$b - 1 = 0$

解题步骤 12.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$b = 1$

解题步骤 13

最终解为使 $b (3 b - 2) (b - 1) = 0$ 成立的所有值。

$b = 0, \frac{2}{3}, 1$

解题步骤 14

有限数学 示例

有限数学示例