有限数学示例

$x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} - 9 x - 18$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

重新组合项。

$3 x^{3} - 9 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

解题步骤 1.2

从 $3 x^{3} - 9 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $3 x^{3}$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x^{2}) - 9 x + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $- 9 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

解题步骤 1.2.3

从 $3 x (x^{2}) + 3 x (- 3)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x^{2} - 3) + x^{4} + 3 x^{2} - 18 = 0$

解题步骤 1.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$3 x (x^{2} - 3) + {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} - 18 = 0$

解题步骤 1.4

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$3 x (x^{2} - 3) + u^{2} + 3 u - 18 = 0$

解题步骤 1.5

使用 AC 法来对 $u^{2} + 3 u - 18$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 18$ ，和为 $3$ 。

$- 3, 6$

解题步骤 1.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$3 x (x^{2} - 3) + (u - 3) (u + 6) = 0$

解题步骤 1.6

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$3 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

解题步骤 1.7

从 $3 x (x^{2} - 3) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ 中分解出因数 $x^{2} - 3$ 。

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解题步骤 1.7.1

从 $3 x (x^{2} - 3)$ 中分解出因数 $x^{2} - 3$ 。

$(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6) = 0$

解题步骤 1.7.2

从 $(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (x^{2} + 6)$ 中分解出因数 $x^{2} - 3$ 。

$(x^{2} - 3) (3 x + x^{2} + 6) = 0$

解题步骤 1.8

重新排序项。

$(x^{2} - 3) (x^{2} + 3 x + 6) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 6 = 0$

解题步骤 3

将 $x^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 3 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$x^{2} = 3$

解题步骤 3.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 4

将 $x^{2} + 3 x + 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x^{2} + 3 x + 6$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 3 x + 6 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 3 x + 6 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 3$ 和 $c = 6$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3

化简。

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解题步骤 4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ 。

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解题步骤 4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.3

从 $9$ 中减去 $24$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.4

将 $- 15$ 重写为 $- 1 (15)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (15)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

解题步骤 4.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 4.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.4.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ 。

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解题步骤 4.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.1.3

从 $9$ 中减去 $24$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.1.4

将 $- 15$ 重写为 $- 1 (15)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (15)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

解题步骤 4.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{15}}{2}$

解题步骤 4.2.4.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{15}}{2}$

解题步骤 4.2.4.5

从 $i \sqrt{15}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{15})}{2}$

解题步骤 4.2.4.6

从 $- 1 (3) - (- i \sqrt{15})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{15})}{2}$

解题步骤 4.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}$

解题步骤 4.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 4.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.5.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ 。

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解题步骤 4.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $6$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 24}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.5.1.3

从 $9$ 中减去 $24$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.5.1.4

将 $- 15$ 重写为 $- 1 (15)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (15)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{15}}{2}$

解题步骤 4.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{15}}{2}$

解题步骤 4.2.5.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{15}}{2}$

解题步骤 4.2.5.5

从 $- i \sqrt{15}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{15})}{2}$

解题步骤 4.2.5.6

从 $- 1 (3) - (i \sqrt{15})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{15})}{2}$

解题步骤 4.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

解题步骤 4.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

解题步骤 5

最终解为使 $(x^{2} - 3) (x^{2} + 3 x + 6) = 0$ 成立的所有值。

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, - \frac{3 - i \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{15}}{2}$

解题步骤 6

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