有限数学示例

$4 x^{4} + 15 x^{2} - 4$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 2, \pm 4$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

$4 {(\frac{1}{2})}^{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = \frac{1}{2}$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$4 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

解题步骤 4.1.2

一的任意次幂都为一。

$4 \frac{1}{2^{4}} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

解题步骤 4.1.3

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$4 (\frac{1}{16}) + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

解题步骤 4.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.4.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$4 \frac{1}{4 (4)} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

解题步骤 4.1.4.2

约去公因数。

$4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

解题步骤 4.1.4.3

重写表达式。

$\frac{1}{4} + 15 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4$

解题步骤 4.1.5

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4$

解题步骤 4.1.6

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{4} + 15 \frac{1}{2^{2}} - 4$

解题步骤 4.1.7

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{4} + 15 (\frac{1}{4}) - 4$

解题步骤 4.1.8

组合 $15$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{4} + \frac{15}{4} - 4$

解题步骤 4.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.1

在公分母上合并分子。

$- 4 + \frac{1 + 15}{4}$

解题步骤 4.2.2

化简表达式。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $1$ 和 $15$ 相加。

$- 4 + \frac{16}{4}$

解题步骤 4.2.2.2

用 $16$ 除以 $4$ 。

$- 4 + 4$

解题步骤 4.2.2.3

将 $- 4$ 和 $4$ 相加。

$0$

解题步骤 5

因为 $\frac{1}{2}$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x - \frac{1}{2}$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{4 x^{4} + 15 x^{2} - 4}{x - \frac{1}{2}}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

解题步骤 6.2

将被除数 $(4)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$

	$4$

解题步骤 6.3

将结果 $(4)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{1}{2})$ 并将 $(2)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$
	$4$	$2$

解题步骤 6.5

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{1}{2})$ 并将 $(1)$ 的结果置于被除数 $(15)$ 的下一项下方。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$
	$4$	$2$	$16$

解题步骤 6.7

将结果 $(16)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{1}{2})$ 并将 $(8)$ 的结果置于被除数 $(0)$ 的下一项下方。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$
	$4$	$2$	$16$	$8$

解题步骤 6.9

将结果 $(8)$ 中的最新项乘以除数 $(\frac{1}{2})$ 并将 $(4)$ 的结果置于被除数 $(- 4)$ 的下一项下方。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$

解题步骤 6.10

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$\frac{1}{2}$	$4$	$0$	$15$	$0$	$- 4$
		$2$	$1$	$8$	$4$
	$4$	$2$	$16$	$8$	$0$

解题步骤 6.11

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$4 x^{3} + 2 x^{2} + (16) x + 8$

解题步骤 6.12

化简商多项式。

$4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$

解题步骤 7

从 $4 x^{3} + 2 x^{2} + 16 x + 8$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 7.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 16 x + 8)$

解题步骤 7.2

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 16 x + 8)$

解题步骤 7.3

从 $16 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 (x^{2}) + 2 (8 x) + 8)$

解题步骤 7.4

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3}) + 2 x^{2} + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

解题步骤 7.5

从 $2 (2 x^{3}) + 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x) + 2 \cdot 4)$

解题步骤 7.6

从 $2 (2 x^{3} + x^{2}) + 2 (8 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4)$

解题步骤 7.7

从 $2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x) + 2 \cdot 4$ 中分解出因数 $2$ 。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x^{3} + x^{2} + 8 x + 4))$

解题步骤 8

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 8.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x^{3} + x^{2}) + 8 x + 4))$

解题步骤 8.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{2} (2 x + 1) + 4 (2 x + 1)))$

解题步骤 9

因数。

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解题步骤 9.1

通过因式分解出最大公因数 $2 x + 1$ 来因式分解多项式。

$(x - \frac{1}{2}) (2 ((2 x + 1) (x^{2} + 4)))$

解题步骤 9.2

去掉多余的括号。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (2 x + 1) (x^{2} + 4))$

解题步骤 10

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$4 u^{2} + 15 u - 4 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 11

分组因式分解。

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解题步骤 11.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot - 4 = - 16$ 并且它们的和为 $b = 15$ 。

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解题步骤 11.1.1

从 $15 u$ 中分解出因数 $15$ 。

$4 u^{2} + 15 (u) - 4 = 0$

解题步骤 11.1.2

把 $15$ 重写为 $- 1$ 加 $16$

$4 u^{2} + (- 1 + 16) u - 4 = 0$

解题步骤 11.1.3

运用分配律。

$4 u^{2} - 1 u + 16 u - 4 = 0$

解题步骤 11.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 11.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(4 u^{2} - 1 u) + 16 u - 4 = 0$

解题步骤 11.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (4 u - 1) + 4 (4 u - 1) = 0$

解题步骤 11.3

通过因式分解出最大公因数 $4 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(4 u - 1) (u + 4) = 0$

解题步骤 12

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$4 u - 1 = 0$

$u + 4 = 0$

解题步骤 13

将 $4 u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 13.1

将 $4 u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$4 u - 1 = 0$

解题步骤 13.2

求解 $u$ 的 $4 u - 1 = 0$ 。

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解题步骤 13.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$4 u = 1$

解题步骤 13.2.2

将 $4 u = 1$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 13.2.2.1

将 $4 u = 1$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 13.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 13.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

解题步骤 13.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{1}{4}$

解题步骤 14

将 $u + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 14.1

将 $u + 4$ 设为等于 $0$ 。

$u + 4 = 0$

解题步骤 14.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$u = - 4$

解题步骤 15

最终解为使 $(4 u - 1) (u + 4) = 0$ 成立的所有值。

$u = \frac{1}{4}, - 4$

解题步骤 16

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = - 4$

解题步骤 17

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = \frac{1}{4}$

解题步骤 18

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 18.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

解题步骤 18.2

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 18.2.1

将 $\sqrt{\frac{1}{4}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

解题步骤 18.2.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

解题步骤 18.2.3

化简分母。

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解题步骤 18.2.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 18.2.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{1}{2}$

解题步骤 18.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 18.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 18.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{1}{2}$

解题步骤 18.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

解题步骤 19

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = - 4$

解题步骤 20

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 20.1

去掉圆括号。

$x^{2} = - 4$

解题步骤 20.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

解题步骤 20.3

化简 $\pm \sqrt{- 4}$ 。

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解题步骤 20.3.1

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

解题步骤 20.3.2

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 20.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 20.3.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 20.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 2$

解题步骤 20.3.6

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 2 i$

解题步骤 20.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 20.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2 i$

解题步骤 20.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2 i$

解题步骤 20.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 i, - 2 i$

解题步骤 21

$4 x^{4} + 15 x^{2} - 4 = 0$ 的解是 $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$ 。

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$

解题步骤 22

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