有限数学示例

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \cdot \log_{b} (27) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

解题步骤 1

化简右边。

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解题步骤 1.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $\log_{b} (27)$ 。

$\log_{b} (x) = \frac{2 \log_{b} (27)}{3} + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

化简 $\frac{2 \log_{b} (27)}{3} + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

将 $\frac{2 \log_{b} (27)}{3}$ 重写为 $\frac{2}{3} \log_{b} (27)$ 。

$\log_{b} (x) = \frac{2}{3} \log_{b} (27) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

解题步骤 2.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{2}{3} \log_{b} (27)$ 。

$\log_{b} (x) = \log_{b} (27^{\frac{2}{3}}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

解题步骤 2.1.1.3

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$\log_{b} (x) = \log_{b} ({(3^{3})}^{\frac{2}{3}}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

解题步骤 2.1.1.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{3 (\frac{2}{3})}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

解题步骤 2.1.1.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.5.1

约去公因数。

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{3 (\frac{2}{3})}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

解题步骤 2.1.1.5.2

重写表达式。

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3^{2}) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

解题步骤 2.1.1.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + 2 \log_{b} (2) - \log_{b} (3)$

解题步骤 2.1.1.7

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \log_{b} (2)$ 。

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + \log_{b} (2^{2}) - \log_{b} (3)$

解题步骤 2.1.1.8

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9) + \log_{b} (4) - \log_{b} (3)$

解题步骤 2.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{b} (x) = \log_{b} (9 \cdot 4) - \log_{b} (3)$

解题步骤 2.1.3

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{9 \cdot 4}{3})$

解题步骤 2.1.4

约去 $9$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.1

从 $9 \cdot 4$ 中分解出因数 $3$ 。

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3})$

解题步骤 2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3 (1)})$

解题步骤 2.1.4.2.2

约去公因数。

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 (3 \cdot 4)}{3 \cdot 1})$

解题步骤 2.1.4.2.3

重写表达式。

$\log_{b} (x) = \log_{b} (\frac{3 \cdot 4}{1})$

解题步骤 2.1.4.2.4

用 $3 \cdot 4$ 除以 $1$ 。

$\log_{b} (x) = \log_{b} (3 \cdot 4)$

解题步骤 2.1.5

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\log_{b} (x) = \log_{b} (12)$

解题步骤 3

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$x = 12$

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