有限数学示例

$\frac{x - 3}{x + 3} + \frac{x + 3}{x - 3} = \frac{34}{15}$

解题步骤 1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x + 3, x - 3, 15$

解题步骤 1.2

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 1.3

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 1.4

$15$ 具有因式 $3$ 和 $5$ 。

$3 \cdot 5$

解题步骤 1.5

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$15$

解题步骤 1.6

$x + 3$ 的因式是 $x + 3$ 本身。

$(x + 3) = x + 3$

$(x + 3)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 1.7

$x - 3$ 的因式是 $x - 3$ 本身。

$(x - 3) = x - 3$

$(x - 3)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 1.8

$x + 3, x - 3$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$(x + 3) (x - 3)$

解题步骤 1.9

某些数的最小公倍数 $LCM$ 是这些均为其因数的最小数。

$15 (x + 3) (x - 3)$

解题步骤 2

将 $\frac{x - 3}{x + 3} + \frac{x + 3}{x - 3} = \frac{34}{15}$ 中的每一项乘以 $15 (x + 3) (x - 3)$ 以消去分数。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{x - 3}{x + 3} + \frac{x + 3}{x - 3} = \frac{34}{15}$ 中的每一项乘以 $15 (x + 3) (x - 3)$ 。

$\frac{x - 3}{x + 3} (15 (x + 3) (x - 3)) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$15 \frac{x - 3}{x + 3} ((x + 3) (x - 3)) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.2.1.2

组合 $15$ 和 $\frac{x - 3}{x + 3}$ 。

$\frac{15 (x - 3)}{x + 3} ((x + 3) (x - 3)) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.2.1.3

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.3.1

约去公因数。

$\frac{15 (x - 3)}{x + 3} ((x + 3) (x - 3)) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.2.1.3.2

重写表达式。

$15 (x - 3) (x - 3) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.2.1.4

对 $x - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$15 ({(x - 3)}^{1} (x - 3)) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.2.1.5

对 $x - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$15 ({(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1}) + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.2.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$15 {(x - 3)}^{1 + 1} + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.2.1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$15 {(x - 3)}^{2} + \frac{x + 3}{x - 3} (15 (x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.2.1.8

使用乘法的交换性质重写。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 \frac{x + 3}{x - 3} ((x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.2.1.9

组合 $15$ 和 $\frac{x + 3}{x - 3}$ 。

$15 {(x - 3)}^{2} + \frac{15 (x + 3)}{x - 3} ((x + 3) (x - 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.2.1.10

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.10.1

从 $(x + 3) (x - 3)$ 中分解出因数 $x - 3$ 。

$15 {(x - 3)}^{2} + \frac{15 (x + 3)}{x - 3} ((x - 3) (x + 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.2.1.10.2

约去公因数。

$15 {(x - 3)}^{2} + \frac{15 (x + 3)}{x - 3} ((x - 3) (x + 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.2.1.10.3

重写表达式。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 (x + 3) (x + 3) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.2.1.11

对 $x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 ({(x + 3)}^{1} (x + 3)) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.2.1.12

对 $x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}) = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.2.1.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{1 + 1} = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.2.1.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = \frac{34}{15} (15 (x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1

从 $15 (x + 3) (x - 3)$ 中分解出因数 $15$ 。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = \frac{34}{15} (15 ((x + 3) (x - 3)))$

解题步骤 2.3.1.2

约去公因数。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = \frac{34}{15} (15 ((x + 3) (x - 3)))$

解题步骤 2.3.1.3

重写表达式。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 ((x + 3) (x - 3))$

解题步骤 2.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

运用分配律。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x (x - 3) + 3 (x - 3))$

解题步骤 2.3.2.2

运用分配律。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))$

解题步骤 2.3.2.3

运用分配律。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)$

解题步骤 2.3.3

化简项。

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解题步骤 2.3.3.1

合并 $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 2.3.3.1.1

按照 $x \cdot - 3$ 和 $3 x$ 重新排列因数。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)$

解题步骤 2.3.3.1.2

将 $- 3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)$

解题步骤 2.3.3.1.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x \cdot x + 3 \cdot - 3)$

解题步骤 2.3.3.2

化简每一项。

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解题步骤 2.3.3.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x^{2} + 3 \cdot - 3)$

解题步骤 2.3.3.2.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 (x^{2} - 9)$

解题步骤 2.3.3.3

通过相乘进行化简。

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解题步骤 2.3.3.3.1

运用分配律。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 x^{2} + 34 \cdot - 9$

解题步骤 2.3.3.3.2

将 $34$ 乘以 $- 9$ 。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} = 34 x^{2} - 306$

解题步骤 3

求解方程。

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解题步骤 3.1

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.1.1

从等式两边同时减去 $34 x^{2}$ 。

$15 {(x - 3)}^{2} + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1

将 ${(x - 3)}^{2}$ 重写为 $(x - 3) (x - 3)$ 。

$15 ((x - 3) (x - 3)) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 3.1.2.2.1

运用分配律。

$15 (x (x - 3) - 3 (x - 3)) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.2.2

运用分配律。

$15 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.2.3

运用分配律。

$15 (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$15 (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.3.1.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$15 (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.3.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$15 (x^{2} - 3 x - 3 x + 9) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.3.2

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$15 (x^{2} - 6 x + 9) + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.4

运用分配律。

$15 x^{2} + 15 (- 6 x) + 15 \cdot 9 + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.5

化简。

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解题步骤 3.1.2.5.1

将 $- 6$ 乘以 $15$ 。

$15 x^{2} - 90 x + 15 \cdot 9 + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.5.2

将 $15$ 乘以 $9$ 。

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 {(x + 3)}^{2} - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.6

将 ${(x + 3)}^{2}$ 重写为 $(x + 3) (x + 3)$ 。

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 ((x + 3) (x + 3)) - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.7

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (x + 3)$ 。

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解题步骤 3.1.2.7.1

运用分配律。

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x (x + 3) + 3 (x + 3)) - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.7.2

运用分配律。

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.7.3

运用分配律。

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1.2.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.8.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.8.1.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.8.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.8.2

将 $3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 (x^{2} + 6 x + 9) - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.9

运用分配律。

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 x^{2} + 15 (6 x) + 15 \cdot 9 - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.10

化简。

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解题步骤 3.1.2.10.1

将 $6$ 乘以 $15$ 。

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 x^{2} + 90 x + 15 \cdot 9 - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.2.10.2

将 $15$ 乘以 $9$ 。

$15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 x^{2} + 90 x + 135 - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.3

合并 $15 x^{2} - 90 x + 135 + 15 x^{2} + 90 x + 135 - 34 x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.1.3.1

将 $- 90 x$ 和 $90 x$ 相加。

$15 x^{2} + 135 + 15 x^{2} + 0 + 135 - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.3.2

将 $15 x^{2} + 135 + 15 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$15 x^{2} + 135 + 15 x^{2} + 135 - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.4

将 $15 x^{2}$ 和 $15 x^{2}$ 相加。

$30 x^{2} + 135 + 135 - 34 x^{2} = - 306$

解题步骤 3.1.5

从 $30 x^{2}$ 中减去 $34 x^{2}$ 。

$- 4 x^{2} + 135 + 135 = - 306$

解题步骤 3.1.6

将 $135$ 和 $135$ 相加。

$- 4 x^{2} + 270 = - 306$

解题步骤 3.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $270$ 。

$- 4 x^{2} = - 306 - 270$

解题步骤 3.2.2

从 $- 306$ 中减去 $270$ 。

$- 4 x^{2} = - 576$

解题步骤 3.3

将 $- 4 x^{2} = - 576$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 4 x^{2} = - 576$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 576}{- 4}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 576}{- 4}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 576}{- 4}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

用 $- 576$ 除以 $- 4$ 。

$x^{2} = 144$

解题步骤 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{144}$

解题步骤 3.5

化简 $\pm \sqrt{144}$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $144$ 重写为 $12^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{12^{2}}$

解题步骤 3.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 12$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 12$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 12$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 12, - 12$

有限数学 示例

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