有限数学示例

$3 = \log_{b} (\frac{27}{64})$

解题步骤 1

将方程重写为 $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ 。

$\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\log_{b} (\frac{27}{64}) = 3$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$b^{3} = \frac{27}{64}$

解题步骤 3

求解 $b$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $\frac{27}{64}$ 。

$b^{3} - \frac{27}{64} = 0$

解题步骤 3.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{27}{64}$ 重写为 ${(\frac{3}{4})}^{3}$ 。

$b^{3} - {(\frac{3}{4})}^{3} = 0$

解题步骤 3.2.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = b$ 和 $b = \frac{3}{4}$ 。

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + b (\frac{3}{4}) + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

解题步骤 3.2.3

化简。

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解题步骤 3.2.3.1

组合 $b$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{b \cdot 3}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

解题步骤 3.2.3.2

将 $3$ 移到 $b$ 的左侧。

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 \cdot b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

解题步骤 3.2.3.3

将 $3$ 乘以 $b$ 。

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + {(\frac{3}{4})}^{2}) = 0$

解题步骤 3.2.3.4

对 $\frac{3}{4}$ 运用乘积法则。

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}}) = 0$

解题步骤 3.2.3.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{4^{2}}) = 0$

解题步骤 3.2.3.6

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$b - \frac{3}{4} = 0$

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

解题步骤 3.4

将 $b - \frac{3}{4}$ 设为等于 $0$ 并求解 $b$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $b - \frac{3}{4}$ 设为等于 $0$ 。

$b - \frac{3}{4} = 0$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $\frac{3}{4}$ 。

$b = \frac{3}{4}$

解题步骤 3.5

将 $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ 设为等于 $0$ 并求解 $b$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}$ 设为等于 $0$ 。

$b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$

解题步骤 3.5.2

求解 $b$ 的 $b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16} = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

全部乘以最小公分母 $16$ ，然后化简。

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解题步骤 3.5.2.1.1

运用分配律。

$16 b^{2} + 16 (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

解题步骤 3.5.2.1.2

化简。

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解题步骤 3.5.2.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.2.1.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$16 b^{2} + 4 (4) (\frac{3 b}{4}) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

解题步骤 3.5.2.1.2.1.2

约去公因数。

$16 b^{2} + 4 \cdot (4 (\frac{3 b}{4})) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

解题步骤 3.5.2.1.2.1.3

重写表达式。

$16 b^{2} + 4 (3 b) + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

解题步骤 3.5.2.1.2.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

解题步骤 3.5.2.1.2.3

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.2.3.1

约去公因数。

$16 b^{2} + 12 b + 16 (\frac{9}{16}) = 0$

解题步骤 3.5.2.1.2.3.2

重写表达式。

$16 b^{2} + 12 b + 9 = 0$

解题步骤 3.5.2.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.5.2.3

将 $a = 16$ 、 $b = 12$ 和 $c = 9$ 的值代入二次公式中并求解 $b$ 。

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 9)}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 3.5.2.4

化简。

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解题步骤 3.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.2.4.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 16 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 3.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 16 \cdot 9$ 。

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解题步骤 3.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 64 \cdot 9}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 3.5.2.4.1.2.2

将 $- 64$ 乘以 $9$ 。

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 576}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 3.5.2.4.1.3

从 $144$ 中减去 $576$ 。

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 432}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 3.5.2.4.1.4

将 $- 432$ 重写为 $- 1 (432)$ 。

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 432}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 3.5.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (432)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}$ 。

$b = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 3.5.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{432}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 3.5.2.4.1.7

将 $432$ 重写为 $12^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 3.5.2.4.1.7.1

从 $432$ 中分解出因数 $144$ 。

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{144 (3)}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 3.5.2.4.1.7.2

将 $144$ 重写为 $12^{2}$ 。

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{12^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 3.5.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$b = \frac{- 12 \pm i \cdot (12 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

解题步骤 3.5.2.4.1.9

将 $12$ 移到 $i$ 的左侧。

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

解题步骤 3.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $16$ 。

$b = \frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$

解题步骤 3.5.2.4.3

化简 $\frac{- 12 \pm 12 i \sqrt{3}}{32}$ 。

$b = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 3.5.2.5

最终答案为两个解的组合。

$b = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

解题步骤 3.6

最终解为使 $(b - \frac{3}{4}) (b^{2} + \frac{3 b}{4} + \frac{9}{16}) = 0$ 成立的所有值。

$b = \frac{3}{4}, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{8}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{8}$

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