有限数学示例

${(x + 3)}^{8}$

解题步骤 1

帕斯卡三角形可以显示为：

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$\dots$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

$1 - 7 - 21 - 35 - 35 - 21 - 7 - 1$

$1 - 8 - 28 - 56 - 70 - 56 - 28 - 8 - 1$

通过取指数 $n$ 并和 $1$ 相加，该三角形可用于计算 ${(a + b)}^{n}$ 的展开系数。这些系数将对应三角形的直线 $n + 1$ 。因为 ${(x + 3)}^{8}$ , $n = 8$ ，所以展开系数将对应直线 $9$ 。

解题步骤 2

展开式符合这个规则 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 。从三角形可以得出它的系数值为 $1 - 8 - 28 - 56 - 70 - 56 - 28 - 8 - 1$ 。

$1 a^{8} b^{0} + 8 a^{7} b + 28 a^{6} b^{2} + 56 a^{5} b^{3} + 70 a^{4} b^{4} + 56 a^{3} b^{5} + 28 a^{2} b^{6} + 8 a b^{7} + 1 a^{0} b^{8}$

解题步骤 3

将 $a$ $x$ 和 $b$ $3$ 的实际值代入表达式。

$1 {(x)}^{8} {(3)}^{0} + 8 {(x)}^{7} {(3)}^{1} + 28 {(x)}^{6} {(3)}^{2} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

将 ${(x)}^{8}$ 乘以 $1$ 。

${(x)}^{8} {(3)}^{0} + 8 {(x)}^{7} {(3)}^{1} + 28 {(x)}^{6} {(3)}^{2} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{8} \cdot 1 + 8 {(x)}^{7} {(3)}^{1} + 28 {(x)}^{6} {(3)}^{2} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.3

将 $x^{8}$ 乘以 $1$ 。

$x^{8} + 8 {(x)}^{7} {(3)}^{1} + 28 {(x)}^{6} {(3)}^{2} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.4

计算指数。

$x^{8} + 8 x^{7} \cdot 3 + 28 {(x)}^{6} {(3)}^{2} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.5

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$x^{8} + 24 x^{7} + 28 {(x)}^{6} {(3)}^{2} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{8} + 24 x^{7} + 28 x^{6} \cdot 9 + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.7

将 $9$ 乘以 $28$ 。

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 56 {(x)}^{5} {(3)}^{3} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.8

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 56 x^{5} \cdot 27 + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.9

将 $27$ 乘以 $56$ 。

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 70 {(x)}^{4} {(3)}^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.10

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 70 x^{4} \cdot 81 + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.11

将 $81$ 乘以 $70$ 。

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 56 {(x)}^{3} {(3)}^{5} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.12

对 $3$ 进行 $5$ 次方运算。

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 56 x^{3} \cdot 243 + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.13

将 $243$ 乘以 $56$ 。

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 28 {(x)}^{2} {(3)}^{6} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.14

对 $3$ 进行 $6$ 次方运算。

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 28 x^{2} \cdot 729 + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.15

将 $729$ 乘以 $28$ 。

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 8 {(x)}^{1} {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.16

化简。

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 8 x {(3)}^{7} + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.17

对 $3$ 进行 $7$ 次方运算。

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 8 x \cdot 2187 + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.18

将 $2187$ 乘以 $8$ 。

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 17496 x + 1 {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.19

将 ${(x)}^{0}$ 乘以 $1$ 。

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 17496 x + {(x)}^{0} {(3)}^{8}$

解题步骤 4.20

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 17496 x + 1 {(3)}^{8}$

解题步骤 4.21

将 ${(3)}^{8}$ 乘以 $1$ 。

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 17496 x + {(3)}^{8}$

解题步骤 4.22

对 $3$ 进行 $8$ 次方运算。

$x^{8} + 24 x^{7} + 252 x^{6} + 1512 x^{5} + 5670 x^{4} + 13608 x^{3} + 20412 x^{2} + 17496 x + 6561$

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