有限数学示例

$27 x^{4} + 21 x^{2} + 4 = 0$

解题步骤 1

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$27 u^{2} + 21 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 27 \cdot 4 = 108$ 并且它们的和为 $b = 21$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $21 u$ 中分解出因数 $21$ 。

$27 u^{2} + 21 (u) + 4 = 0$

解题步骤 2.1.2

把 $21$ 重写为 $9$ 加 $12$

$27 u^{2} + (9 + 12) u + 4 = 0$

解题步骤 2.1.3

运用分配律。

$27 u^{2} + 9 u + 12 u + 4 = 0$

解题步骤 2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(27 u^{2} + 9 u) + 12 u + 4 = 0$

解题步骤 2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$9 u (3 u + 1) + 4 (3 u + 1) = 0$

解题步骤 2.3

通过因式分解出最大公因数 $3 u + 1$ 来因式分解多项式。

$(3 u + 1) (9 u + 4) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 u + 1 = 0$

$9 u + 4 = 0$

解题步骤 4

将 $3 u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.1

将 $3 u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 u + 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $u$ 的 $3 u + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$3 u = - 1$

解题步骤 4.2.2

将 $3 u = - 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $3 u = - 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 u}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{1}{3}$

解题步骤 5

将 $9 u + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.1

将 $9 u + 4$ 设为等于 $0$ 。

$9 u + 4 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $u$ 的 $9 u + 4 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$9 u = - 4$

解题步骤 5.2.2

将 $9 u = - 4$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $9 u = - 4$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 4}{9}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 u}{9} = \frac{- 4}{9}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{- 4}{9}$

解题步骤 5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{4}{9}$

解题步骤 6

最终解为使 $(3 u + 1) (9 u + 4) = 0$ 成立的所有值。

$u = - \frac{1}{3}, - \frac{4}{9}$

解题步骤 7

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

${(x^{2})}^{1} = - \frac{4}{9}$

解题步骤 8

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = - \frac{1}{3}$

解题步骤 9

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$

解题步骤 9.2

化简 $\pm \sqrt{- \frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 9.2.1

将 $- \frac{1}{3}$ 重写为 $i^{2} \frac{1^{2}}{3}$ 。

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解题步骤 9.2.1.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{3}}$

解题步骤 9.2.1.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{3}}$

解题步骤 9.2.2

从根式下提出各项。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{3}}$

解题步骤 9.2.3

一的任意次幂都为一。

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{3}}$

解题步骤 9.2.4

将 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 9.2.5

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{3}}$

解题步骤 9.2.6

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

解题步骤 9.2.7

合并和化简分母。

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解题步骤 9.2.7.1

将 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 9.2.7.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 9.2.7.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 9.2.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.2.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 9.2.7.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 9.2.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.2.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.2.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.2.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.7.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.2.7.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 9.2.7.6.5

计算指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9.2.8

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 9.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 9.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 10

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = - \frac{4}{9}$

解题步骤 11

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$x^{2} = - \frac{4}{9}$

解题步骤 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{4}{9}}$

解题步骤 11.3

化简 $\pm \sqrt{- \frac{4}{9}}$ 。

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解题步骤 11.3.1

将 $- \frac{4}{9}$ 重写为 ${(\frac{2 i}{3})}^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{{(\frac{2 i}{3})}^{2}}$

解题步骤 11.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{2 i}{3}$

解题步骤 11.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 11.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{2 i}{3}$

解题步骤 11.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{2 i}{3}$

解题步骤 11.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$

解题步骤 12

$27 x^{4} + 21 x^{2} + 4 = 0$ 的解是 $x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$ 。

$x = \frac{i \sqrt{3}}{3}, - \frac{i \sqrt{3}}{3}, \frac{2 i}{3}, - \frac{2 i}{3}$

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