有限数学示例

$8 \cdot 2^{x} = 81 \cdot 3^{x - 1}$

解题步骤 1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (8 \cdot 2^{x}) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

解题步骤 2

展开左边。

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解题步骤 2.1

将 $\ln (8 \cdot 2^{x})$ 重写为 $\ln (8) + \ln (2^{x})$ 。

$\ln (8) + \ln (2^{x}) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

解题步骤 2.2

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{x})$ 。

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81 \cdot 3^{x - 1})$

解题步骤 3

展开右边。

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解题步骤 3.1

将 $\ln (81 \cdot 3^{x - 1})$ 重写为 $\ln (81) + \ln (3^{x - 1})$ 。

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + \ln (3^{x - 1})$

解题步骤 3.2

通过将 $x - 1$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{x - 1})$ 。

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + (x - 1) \ln (3)$

解题步骤 4

化简右边。

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解题步骤 4.1

化简 $\ln (81) + (x - 1) \ln (3)$ 。

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解题步骤 4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1.1

运用分配律。

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + x \ln (3) - 1 \ln (3)$

解题步骤 4.1.1.2

将 $- 1 \ln (3)$ 重写为 $- \ln (3)$ 。

$\ln (8) + x \ln (2) = \ln (81) + x \ln (3) - \ln (3)$

解题步骤 4.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (8) + x \ln (2) = x \ln (3) + \ln (\frac{81}{3})$

解题步骤 4.1.3

用 $81$ 除以 $3$ 。

$\ln (8) + x \ln (2) = x \ln (3) + \ln (27)$

解题步骤 5

将 $\ln (8)$ 和 $x \ln (2)$ 重新排序。

$x \ln (2) + \ln (8) = x \ln (3) + \ln (27)$

解题步骤 6

将所有包含对数的项移到等式左边。

$x \ln (2) + \ln (8) - x \ln (3) - \ln (27) = 0$

解题步骤 7

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$x \ln (2) - x \ln (3) + \ln (\frac{8}{27}) = 0$

解题步骤 8

从等式两边同时减去 $\ln (\frac{8}{27})$ 。

$x \ln (2) - x \ln (3) = - \ln (\frac{8}{27})$

解题步骤 9

从 $x \ln (2) - x \ln (3)$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 9.1

从 $x \ln (2)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\ln (2)) - x \ln (3) = - \ln (\frac{8}{27})$

解题步骤 9.2

从 $- x \ln (3)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

解题步骤 9.3

从 $x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3))$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\ln (2) - 1 \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

解题步骤 10

将 $- 1 \ln (3)$ 重写为 $- \ln (3)$ 。

$x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$

解题步骤 11

将 $x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$ 中的每一项除以 $\ln (2) - \ln (3)$ 并化简。

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解题步骤 11.1

将 $x (\ln (2) - \ln (3)) = - \ln (\frac{8}{27})$ 中的每一项都除以 $\ln (2) - \ln (3)$ 。

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

解题步骤 11.2

化简左边。

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解题步骤 11.2.1

约去 $\ln (2) - \ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

解题步骤 11.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

解题步骤 11.3

化简右边。

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解题步骤 11.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{\ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

解题步骤 12

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \frac{\ln (\frac{8}{27})}{\ln (2) - \ln (3)}$

小数形式：

$x = - 3$

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