有限数学示例

$(2 x - 5) (x - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1

化简 $(2 x - 5) (x - 2) (x + 4) (2 x + 7)$ 。

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解题步骤 1.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 x - 5) (x - 2)$ 。

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解题步骤 1.1.1

运用分配律。

$(2 x (x - 2) - 5 (x - 2)) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.1.2

运用分配律。

$(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 5 (x - 2)) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.1.3

运用分配律。

$(2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1.1.1

移动 $x$ 。

$(2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.2.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$(2 x^{2} - 4 x - 5 x - 5 \cdot - 2) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.2.1.3

将 $- 5$ 乘以 $- 2$ 。

$(2 x^{2} - 4 x - 5 x + 10) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.2.2

从 $- 4 x$ 中减去 $5 x$ 。

$(2 x^{2} - 9 x + 10) (x + 4) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.3

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 x^{2} - 9 x + 10) (x + 4)$ 。

$(2 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.4

化简项。

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解题步骤 1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$(2 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(2 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.4.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(2 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.4.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$(2 x^{3} + 2 x^{2} \cdot 4 - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.4.1.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x \cdot x - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.4.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.1.3.1

移动 $x$ 。

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 (x \cdot x) - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.4.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 9 x \cdot 4 + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.4.1.4

将 $4$ 乘以 $- 9$ 。

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 36 x + 10 x + 10 \cdot 4) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.4.1.5

将 $10$ 乘以 $4$ 。

$(2 x^{3} + 8 x^{2} - 9 x^{2} - 36 x + 10 x + 40) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.4.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.4.2.1

从 $8 x^{2}$ 中减去 $9 x^{2}$ 。

$(2 x^{3} - x^{2} - 36 x + 10 x + 40) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.4.2.2

将 $- 36 x$ 和 $10 x$ 相加。

$(2 x^{3} - x^{2} - 26 x + 40) (2 x + 7) = 91$

解题步骤 1.5

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 x^{3} - x^{2} - 26 x + 40) (2 x + 7)$ 。

$2 x^{3} (2 x) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6

化简项。

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解题步骤 1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 \cdot 2 x^{3} x + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.2

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.1.2.1

移动 $x$ 。

$2 \cdot 2 (x \cdot x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.6.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 \cdot 2 (x^{1} x^{3}) + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 \cdot 2 x^{1 + 3} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.2.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$2 \cdot 2 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{4} + 2 x^{3} \cdot 7 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.4

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.1.6.1

移动 $x$ 。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.6.1.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.7

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 7 - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.8

将 $7$ 乘以 $- 1$ 。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 x (2 x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.9

使用乘法的交换性质重写。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 x \cdot x - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.10

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.1.10.1

移动 $x$ 。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 (x \cdot x) - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.10.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 26 \cdot 2 x^{2} - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.11

将 $- 26$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 26 x \cdot 7 + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.12

将 $7$ 乘以 $- 26$ 。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 40 (2 x) + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.13

将 $2$ 乘以 $40$ 。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 40 \cdot 7 = 91$

解题步骤 1.6.1.14

将 $40$ 乘以 $7$ 。

$4 x^{4} + 14 x^{3} - 2 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

解题步骤 1.6.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.6.2.1

从 $14 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 7 x^{2} - 52 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

解题步骤 1.6.2.2

从 $- 7 x^{2}$ 中减去 $52 x^{2}$ 。

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 182 x + 80 x + 280 = 91$

解题步骤 1.6.2.3

将 $- 182 x$ 和 $80 x$ 相加。

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 280 = 91$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $91$ 。

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 280 - 91 = 0$

解题步骤 3

从 $280$ 中减去 $91$ 。

$4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189 = 0$

解题步骤 4

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.1

使用有理根检验法因式分解 $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ 。

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解题步骤 4.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 189, \pm 3, \pm 63, \pm 7, \pm 27, \pm 9, \pm 21$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 4.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 189, \pm 47.25, \pm 94.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 63, \pm 15.75, \pm 31.5, \pm 7, \pm 1.75, \pm 3.5, \pm 27, \pm 6.75, \pm 13.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5, \pm 21, \pm 5.25, \pm 10.5$

解题步骤 4.1.3

代入 $3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $3$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1.3.1

将 $3$ 代入多项式。

$4 \cdot 3^{4} + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

解题步骤 4.1.3.2

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$4 \cdot 81 + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

解题步骤 4.1.3.3

将 $4$ 乘以 $81$ 。

$324 + 12 \cdot 3^{3} - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

解题步骤 4.1.3.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$324 + 12 \cdot 27 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

解题步骤 4.1.3.5

将 $12$ 乘以 $27$ 。

$324 + 324 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

解题步骤 4.1.3.6

将 $324$ 和 $324$ 相加。

$648 - 59 \cdot 3^{2} - 102 \cdot 3 + 189$

解题步骤 4.1.3.7

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$648 - 59 \cdot 9 - 102 \cdot 3 + 189$

解题步骤 4.1.3.8

将 $- 59$ 乘以 $9$ 。

$648 - 531 - 102 \cdot 3 + 189$

解题步骤 4.1.3.9

从 $648$ 中减去 $531$ 。

$117 - 102 \cdot 3 + 189$

解题步骤 4.1.3.10

将 $- 102$ 乘以 $3$ 。

$117 - 306 + 189$

解题步骤 4.1.3.11

从 $117$ 中减去 $306$ 。

$- 189 + 189$

解题步骤 4.1.3.12

将 $- 189$ 和 $189$ 相加。

$0$

解题步骤 4.1.4

因为 $3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189}{x - 3}$

解题步骤 4.1.5

用 $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ 除以 $x - 3$ 。

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解题步骤 4.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

解题步骤 4.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $4 x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

解题步骤 4.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

解题步骤 4.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{4} - 12 x^{3}$ 中的所有符号

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

解题步骤 4.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

解题步骤 4.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$4 x^{3}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

解题步骤 4.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $24 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

解题步骤 4.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

解题步骤 4.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $24 x^{3} - 72 x^{2}$ 中的所有符号

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

解题步骤 4.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

解题步骤 4.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

解题步骤 4.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $13 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

解题步骤 4.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

解题步骤 4.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $13 x^{2} - 39 x$ 中的所有符号

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

解题步骤 4.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

解题步骤 4.1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

解题步骤 4.1.5.17

将被除数中的最高阶项 $- 63 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

解题步骤 4.1.5.18

将新的商式项乘以除数。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

解题步骤 4.1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 63 x + 189$ 中的所有符号

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

解题步骤 4.1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

$x$

$3$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$59 x^{2}$

$102 x$

$189$

$4 x^{4}$

$12 x^{3}$

$24 x^{3}$

$59 x^{2}$

$24 x^{3}$

$72 x^{2}$

$13 x^{2}$

$102 x$

$13 x^{2}$

$39 x$

$63 x$

$189$

$63 x$

$189$

$0$

解题步骤 4.1.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$

解题步骤 4.1.6

将 $4 x^{4} + 12 x^{3} - 59 x^{2} - 102 x + 189$ 书写为因数的集合。

$(x - 3) (4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63) = 0$

解题步骤 4.2

使用有理根检验法因式分解 $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用有理根检验法因式分解 $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 63, \pm 3, \pm 21, \pm 7, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 4.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 63, \pm 15.75, \pm 31.5, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 21, \pm 5.25, \pm 10.5, \pm 7, \pm 1.75, \pm 3.5, \pm 9, \pm 2.25, \pm 4.5$

解题步骤 4.2.1.3

代入 $- 4.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 4.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.2.1.3.1

将 $- 4.5$ 代入多项式。

$4 {(- 4.5)}^{3} + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

解题步骤 4.2.1.3.2

对 $- 4.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \cdot - 91.125 + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

解题步骤 4.2.1.3.3

将 $4$ 乘以 $- 91.125$ 。

$- 364.5 + 24 {(- 4.5)}^{2} + 13 \cdot - 4.5 - 63$

解题步骤 4.2.1.3.4

对 $- 4.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 364.5 + 24 \cdot 20.25 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

解题步骤 4.2.1.3.5

将 $24$ 乘以 $20.25$ 。

$- 364.5 + 486 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

解题步骤 4.2.1.3.6

将 $- 364.5$ 和 $486$ 相加。

$121.5 + 13 \cdot - 4.5 - 63$

解题步骤 4.2.1.3.7

将 $13$ 乘以 $- 4.5$ 。

$121.5 - 58.5 - 63$

解题步骤 4.2.1.3.8

从 $121.5$ 中减去 $58.5$ 。

$63 - 63$

解题步骤 4.2.1.3.9

从 $63$ 中减去 $63$ 。

$0$

解题步骤 4.2.1.4

因为 $- 4.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 x + 9$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63}{2 x + 9}$

解题步骤 4.2.1.5

用 $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ 除以 $2 x + 9$ 。

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解题步骤 4.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$9$

$4 x^{3}$

$24 x^{2}$

$13 x$

$63$

解题步骤 4.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $4 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$

解题步骤 4.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			+	$4 x^{3}$	+	$18 x^{2}$

解题步骤 4.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{3} + 18 x^{2}$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$

解题步骤 4.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

解题步骤 4.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$

解题步骤 4.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $6 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$

解题步骤 4.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$27 x$

解题步骤 4.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $6 x^{2} + 27 x$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$

解题步骤 4.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$

解题步骤 4.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$

解题步骤 4.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 14 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$

解题步骤 4.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							-	$14 x$	-	$63$

解题步骤 4.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 14 x - 63$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							+	$14 x$	+	$63$

解题步骤 4.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	+	$3 x$	-	$7$
$2 x$	+	$9$		$4 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$13 x$	-	$63$
			-	$4 x^{3}$	-	$18 x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	+	$13 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$27 x$
							-	$14 x$	-	$63$
							+	$14 x$	+	$63$
										$0$

解题步骤 4.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 x^{2} + 3 x - 7$

解题步骤 4.2.1.6

将 $4 x^{3} + 24 x^{2} + 13 x - 63$ 书写为因数的集合。

$(x - 3) ((2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7)) = 0$

解题步骤 4.2.2

去掉多余的括号。

$(x - 3) (2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$2 x + 9 = 0$

$2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$

解题步骤 6

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 6.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 7

将 $2 x + 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $2 x + 9$ 设为等于 $0$ 。

$2 x + 9 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $2 x + 9 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$2 x = - 9$

解题步骤 7.2.2

将 $2 x = - 9$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 7.2.2.1

将 $2 x = - 9$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

解题步骤 7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 9}{2}$

解题步骤 7.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 9}{2}$

解题步骤 7.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{9}{2}$

解题步骤 8

将 $2 x^{2} + 3 x - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将 $2 x^{2} + 3 x - 7$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$

解题步骤 8.2

求解 $x$ 的 $2 x^{2} + 3 x - 7 = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 8.2.2

将 $a = 2$ 、 $b = 3$ 和 $c = - 7$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 7)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.3

化简。

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解题步骤 8.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 8.2.3.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 7$ 。

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解题步骤 8.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 7}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.3.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 7$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 56}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.3.1.3

将 $9$ 和 $56$ 相加。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{65}}{4}$

解题步骤 8.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

解题步骤 9

最终解为使 $(x - 3) (2 x + 9) (2 x^{2} + 3 x - 7) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, - \frac{9}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 3, - \frac{9}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

小数形式：

$x = 3, - 4.5, 1.26556443 \dots, - 2.76556443 \dots$

带分数形式：

$x = 3, - 4 \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{65}}{4}, - \frac{3 + \sqrt{65}}{4}$

有限数学 示例

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