有限数学示例

$2^{2 x} + 128 = 24 \cdot 2^{x}$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $24 \cdot 2^{x}$ 。

$2^{2 x} + 128 - 24 \cdot 2^{x} = 0$

解题步骤 2

将 $2^{2 x}$ 重写为乘方形式。

${(2^{x})}^{2} + 128 - 24 \cdot 2^{x} = 0$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $2^{x}$ 。

$u^{2} + 128 - 24 u = 0$

解题步骤 4

移动 $128$ 。

$u^{2} - 24 u + 128 = 0$

解题步骤 5

求解 $u$ 。

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解题步骤 5.1

使用 AC 法来对 $u^{2} - 24 u + 128$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $128$ ，和为 $- 24$ 。

$- 16, - 8$

解题步骤 5.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 16) (u - 8) = 0$

$(u - 16) (u - 8) = 0$

解题步骤 5.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 16 = 0$

$u - 8 = 0$

解题步骤 5.3

将 $u - 16$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.3.1

将 $u - 16$ 设为等于 $0$ 。

$u - 16 = 0$

解题步骤 5.3.2

在等式两边都加上 $16$ 。

$u = 16$

$u = 16$

解题步骤 5.4

将 $u - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $u - 8$ 设为等于 $0$ 。

$u - 8 = 0$

解题步骤 5.4.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$u = 8$

$u = 8$

解题步骤 5.5

最终解为使 $(u - 16) (u - 8) = 0$ 成立的所有值。

$u = 16, 8$

$u = 16, 8$

解题步骤 6

代入 $16$ 替换 $u = 2^{x}$ 中的 $u$ 。

$16 = 2^{x}$

解题步骤 7

求解 $16 = 2^{x}$ 。

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解题步骤 7.1

将方程重写为 $2^{x} = 16$ 。

$2^{x} = 16$

解题步骤 7.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$2^{x} = 2^{4}$

解题步骤 7.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 4$

$x = 4$

解题步骤 8

代入 $8$ 替换 $u = 2^{x}$ 中的 $u$ 。

$8 = 2^{x}$

解题步骤 9

求解 $8 = 2^{x}$ 。

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解题步骤 9.1

将方程重写为 $2^{x} = 8$ 。

$2^{x} = 8$

解题步骤 9.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$2^{x} = 2^{3}$

解题步骤 9.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 3$

$x = 3$

解题步骤 10

列出使方程成立的解。

$x = 4, 3$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$