有限数学示例

$x^{6} + 28 x^{3} + 27 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

将 $x^{6}$ 重写为 ${(x^{3})}^{2}$ 。

${(x^{3})}^{2} + 28 x^{3} + 27 = 0$

解题步骤 1.2

使 $u = x^{3}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{3}$ 。

$u^{2} + 28 u + 27 = 0$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $u^{2} + 28 u + 27$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $27$ ，和为 $28$ 。

$1, 27$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u + 1) (u + 27) = 0$

解题步骤 1.4

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{3} + 1) (x^{3} + 27) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{3} + 1 = 0$

$x^{3} + 27 = 0$

解题步骤 3

将 $x^{3} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $x^{3} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} + 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $x^{3} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{3} = - 1$

解题步骤 3.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x^{3} + 1 = 0$

解题步骤 3.2.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$x^{3} + 1^{3} = 0$

解题步骤 3.2.3.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 3.2.3.3

化简。

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解题步骤 3.2.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

解题步骤 3.2.3.3.2

一的任意次幂都为一。

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

解题步骤 3.2.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

解题步骤 3.2.5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 3.2.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 3.2.6

将 $x^{2} - x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

将 $x^{2} - x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - x + 1 = 0$

解题步骤 3.2.6.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.6.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.2.6.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.6.2.3

化简。

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解题步骤 3.2.6.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.2.6.2.3.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.6.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.2.6.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.6.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.6.2.3.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.6.2.3.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.6.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.6.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.6.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.7

最终解为使 $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4

将 $x^{3} + 27$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x^{3} + 27$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} + 27 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $x^{3} + 27 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $27$ 。

$x^{3} = - 27$

解题步骤 4.2.2

在等式两边都加上 $27$ 。

$x^{3} + 27 = 0$

解题步骤 4.2.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $27$ 重写为 $3^{3}$ 。

$x^{3} + 3^{3} = 0$

解题步骤 4.2.3.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$(x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

解题步骤 4.2.3.3

化简。

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解题步骤 4.2.3.3.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}) = 0$

解题步骤 4.2.3.3.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$

解题步骤 4.2.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

$x^{2} - 3 x + 9 = 0$

解题步骤 4.2.5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 4.2.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 4.2.6

将 $x^{2} - 3 x + 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

将 $x^{2} - 3 x + 9$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 3 x + 9 = 0$

解题步骤 4.2.6.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 3 x + 9 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.6.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.2.6.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 3$ 和 $c = 9$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.6.2.3

化简。

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解题步骤 4.2.6.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.6.2.3.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.6.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ 。

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解题步骤 4.2.6.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.6.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.6.2.3.1.3

从 $9$ 中减去 $36$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.6.2.3.1.4

将 $- 27$ 重写为 $- 1 (27)$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.6.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (27)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.6.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.6.2.3.1.7

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 4.2.6.2.3.1.7.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.6.2.3.1.7.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.6.2.3.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.6.2.3.1.9

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.6.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.6.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 4.2.7

最终解为使 $(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 5

最终解为使 $(x^{3} + 1) (x^{3} + 27) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - 3, \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

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