有限数学示例

$5^{2 x} + 3 (5^{x}) = 28$

解题步骤 1

将 $5^{2 x}$ 重写为乘方形式。

${(5^{x})}^{2} + 3 \cdot 5^{x} = 28$

解题步骤 2

代入 $u$ 替换 $5^{x}$ 。

$u^{2} + 3 u = 28$

解题步骤 3

求解 $u$ 。

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解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $28$ 。

$u^{2} + 3 u - 28 = 0$

解题步骤 3.2

使用 AC 法来对 $u^{2} + 3 u - 28$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 28$ ，和为 $3$ 。

$- 4, 7$

解题步骤 3.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 4) (u + 7) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 4 = 0$

$u + 7 = 0$

解题步骤 3.4

将 $u - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $u - 4$ 设为等于 $0$ 。

$u - 4 = 0$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$u = 4$

解题步骤 3.5

将 $u + 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $u + 7$ 设为等于 $0$ 。

$u + 7 = 0$

解题步骤 3.5.2

从等式两边同时减去 $7$ 。

$u = - 7$

解题步骤 3.6

最终解为使 $(u - 4) (u + 7) = 0$ 成立的所有值。

$u = 4, - 7$

解题步骤 4

代入 $4$ 替换 $u = 5^{x}$ 中的 $u$ 。

$4 = 5^{x}$

解题步骤 5

求解 $4 = 5^{x}$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $5^{x} = 4$ 。

$5^{x} = 4$

解题步骤 5.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (5^{x}) = \ln (4)$

解题步骤 5.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{x})$ 。

$x \ln (5) = \ln (4)$

解题步骤 5.4

将 $x \ln (5) = \ln (4)$ 中的每一项除以 $\ln (5)$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $x \ln (5) = \ln (4)$ 中的每一项都除以 $\ln (5)$ 。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $\ln (5)$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

解题步骤 6

代入 $- 7$ 替换 $u = 5^{x}$ 中的 $u$ 。

$- 7 = 5^{x}$

解题步骤 7

求解 $- 7 = 5^{x}$ 。

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解题步骤 7.1

将方程重写为 $5^{x} = - 7$ 。

$5^{x} = - 7$

解题步骤 7.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (5^{x}) = \ln (- 7)$

解题步骤 7.3

因为 $\ln (- 7)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 7.4

$5^{x} = - 7$ 无解

无解

解题步骤 8

列出使方程成立的解。

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

小数形式：

$x = 0.86135311 \dots$

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