有限数学示例

$x - 2 \sqrt{5 x} = 15$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$- 2 \sqrt{5 x} = 15 - x$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(- 2 \sqrt{5 x})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5 x}$ 重写成 ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- 2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${(- 2 {(5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

对 $5 x$ 运用乘积法则。

${(- 2 (5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.2.1.2.1

对 $- 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.2.2

对 $- 2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 2)}^{2} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.4

将 ${(5^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.4.2.1

约去公因数。

$4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.4.2.2

重写表达式。

$4 \cdot 5^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.5

计算指数。

$4 \cdot 5 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.6

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$20 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(15 - x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.7

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(15 - x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.7.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.7.2.1

约去公因数。

$20 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(15 - x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.7.2.2

重写表达式。

$20 x^{1} = {(15 - x)}^{2}$

解题步骤 3.2.1.8

化简。

$20 x = {(15 - x)}^{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${(15 - x)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${(15 - x)}^{2}$ 重写为 $(15 - x) (15 - x)$ 。

$20 x = (15 - x) (15 - x)$

解题步骤 3.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(15 - x) (15 - x)$ 。

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解题步骤 3.3.1.2.1

运用分配律。

$20 x = 15 (15 - x) - x (15 - x)$

解题步骤 3.3.1.2.2

运用分配律。

$20 x = 15 \cdot 15 + 15 (- x) - x (15 - x)$

解题步骤 3.3.1.2.3

运用分配律。

$20 x = 15 \cdot 15 + 15 (- x) - x \cdot 15 - x (- x)$

解题步骤 3.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.3.1.1

将 $15$ 乘以 $15$ 。

$20 x = 225 + 15 (- x) - x \cdot 15 - x (- x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$20 x = 225 - 15 x - x \cdot 15 - x (- x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.3

将 $15$ 乘以 $- 1$ 。

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - x (- x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

解题步骤 3.3.1.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.3.1.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

解题步骤 3.3.1.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$20 x = 225 - 15 x - 15 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$20 x = 225 - 15 x - 15 x + 1 x^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.1.7

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$20 x = 225 - 15 x - 15 x + x^{2}$

解题步骤 3.3.1.3.2

从 $- 15 x$ 中减去 $15 x$ 。

$20 x = 225 - 30 x + x^{2}$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$225 - 30 x + x^{2} = 20 x$

解题步骤 4.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $20 x$ 。

$225 - 30 x + x^{2} - 20 x = 0$

解题步骤 4.2.2

从 $- 30 x$ 中减去 $20 x$ 。

$225 + x^{2} - 50 x = 0$

解题步骤 4.3

使用 AC 法来对 $225 + x^{2} - 50 x$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $225$ ，和为 $- 50$ 。

$- 45, - 5$

解题步骤 4.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 45) (x - 5) = 0$

解题步骤 4.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 45 = 0$

$x - 5 = 0$

解题步骤 4.5

将 $x - 45$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $x - 45$ 设为等于 $0$ 。

$x - 45 = 0$

解题步骤 4.5.2

在等式两边都加上 $45$ 。

$x = 45$

解题步骤 4.6

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.6.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 4.6.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 4.7

最终解为使 $(x - 45) (x - 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = 45, 5$

解题步骤 5

排除不能使 $x - 2 \sqrt{5 x} = 15$ 成立的解。

$x = 45$

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