有限数学示例

$\ln (x) + \ln (x - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (x (x - 1)) = \ln (2) + \ln (3)$

解题步骤 1.2

通过相乘进行化简。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\ln (x \cdot x + x \cdot - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

解题步骤 1.2.2

化简表达式。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (x^{2} + x \cdot - 1) = \ln (2) + \ln (3)$

解题步骤 1.2.2.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$\ln (x^{2} - 1 \cdot x) = \ln (2) + \ln (3)$

解题步骤 1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$\ln (x^{2} - x) = \ln (2) + \ln (3)$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (x^{2} - x) = \ln (2 \cdot 3)$

解题步骤 2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\ln (x^{2} - x) = \ln (6)$

解题步骤 3

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$x^{2} - x = 6$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $6$ 。

$x^{2} - x - 6 = 0$

解题步骤 4.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 4.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 3) (x + 2) = 0$

解题步骤 4.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 4.4

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 4.4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 4.5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 4.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 4.6

最终解为使 $(x - 3) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, - 2$

解题步骤 5

排除不能使 $\ln (x) + \ln (x - 1) = \ln (2) + \ln (3)$ 成立的解。

$x = 3$

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