有限数学示例

$\ln (\ln (x - e^{6} x)) = 0$

解题步骤 1

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\ln (x - e^{6} x))} = e^{0}$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\ln (\ln (x - e^{6} x)) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = \ln (x - e^{6} x)$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\ln (x - e^{6} x) = e^{0}$ 。

$\ln (x - e^{6} x) = e^{0}$

解题步骤 3.2

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x - e^{6} x)} = e^{e^{0}}$

解题步骤 3.3

使用对数的定义将 $\ln (x - e^{6} x) = e^{0}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{e^{0}} = x - e^{6} x$

解题步骤 3.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $x - e^{6} x = e^{e^{0}}$ 。

$x - e^{6} x = e^{e^{0}}$

解题步骤 3.4.2

化简 $e^{e^{0}}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x - e^{6} x = e^{1}$

解题步骤 3.4.2.2

化简。

$x - e^{6} x = e$

解题步骤 3.4.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $x - e^{6} x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x - e^{6} x = e$

解题步骤 3.4.3.1.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot 1 - e^{6} x = e$

解题步骤 3.4.3.1.3

从 $- e^{6} x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot 1 + x (- e^{6}) = e$

解题步骤 3.4.3.1.4

从 $x \cdot 1 + x (- e^{6})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (1 - e^{6}) = e$

解题步骤 3.4.3.2

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$x (1^{3} - e^{6}) = e$

解题步骤 3.4.3.3

将 $e^{6}$ 重写为 ${(e^{2})}^{3}$ 。

$x (1^{3} - {(e^{2})}^{3}) = e$

解题步骤 3.4.3.4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = e^{2}$ 。

$x ((1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = e$

解题步骤 3.4.3.5

因数。

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解题步骤 3.4.3.5.1

化简。

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解题步骤 3.4.3.5.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x ((1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = e$

解题步骤 3.4.3.5.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = e$ 。

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = e$

解题步骤 3.4.3.5.1.3

将 $e^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x ((1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})) = e$

解题步骤 3.4.3.5.2

去掉多余的括号。

$x (1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = e$

解题步骤 3.4.3.6

一的任意次幂都为一。

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = e$

解题步骤 3.4.3.7

将 ${(e^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.3.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2}) = e$

解题步骤 3.4.3.7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) = e$

解题步骤 3.4.4

将 $x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) = e$ 中的每一项除以 $1 - e^{6}$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4}) = e$ 中的每一项都除以 $1 - e^{6}$ 。

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 - e^{6}} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

化简分母。

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解题步骤 3.4.4.2.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - e^{6}} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

将 $e^{6}$ 重写为 ${(e^{2})}^{3}$ 。

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

解题步骤 3.4.4.2.1.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = e^{2}$ 。

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

解题步骤 3.4.4.2.1.4

化简。

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解题步骤 3.4.4.2.1.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

解题步骤 3.4.4.2.1.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = e$ 。

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

解题步骤 3.4.4.2.1.4.3

将 $e^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

解题步骤 3.4.4.2.1.5

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.2.1.5.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

解题步骤 3.4.4.2.1.5.2

将 ${(e^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.4.2.1.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

解题步骤 3.4.4.2.1.5.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

解题步骤 3.4.4.2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.4.4.2.2.1

约去 $1 + e$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x (1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

解题步骤 3.4.4.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{(x (1 - e)) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

解题步骤 3.4.4.2.2.2

约去 $1 - e$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}{(1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

解题步骤 3.4.4.2.2.2.2

重写表达式。

$\frac{(x) (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

解题步骤 3.4.4.2.2.3

约去 $1 + e^{2} + e^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.2.3.1

约去公因数。

$\frac{x (1 + e^{2} + e^{4})}{1 + e^{2} + e^{4}} = \frac{e}{1 - e^{6}}$

解题步骤 3.4.4.2.2.3.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{e}{1 - e^{6}}$

解题步骤 3.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.4.3.1

化简分母。

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解题步骤 3.4.4.3.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$x = \frac{e}{1^{3} - e^{6}}$

解题步骤 3.4.4.3.1.2

将 $e^{6}$ 重写为 ${(e^{2})}^{3}$ 。

$x = \frac{e}{1^{3} - {(e^{2})}^{3}}$

解题步骤 3.4.4.3.1.3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = e^{2}$ 。

$x = \frac{e}{(1 - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

解题步骤 3.4.4.3.1.4

化简。

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解题步骤 3.4.4.3.1.4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x = \frac{e}{(1^{2} - e^{2}) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

解题步骤 3.4.4.3.1.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = e$ 。

$x = \frac{e}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + 1 e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

解题步骤 3.4.4.3.1.4.3

将 $e^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{e}{(1 + e) (1 - e) (1^{2} + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

解题步骤 3.4.4.3.1.5

化简每一项。

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解题步骤 3.4.4.3.1.5.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{e}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + {(e^{2})}^{2})}$

解题步骤 3.4.4.3.1.5.2

将 ${(e^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.4.3.1.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \frac{e}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{2 \cdot 2})}$

解题步骤 3.4.4.3.1.5.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{e}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{e}{(1 + e) (1 - e) (1 + e^{2} + e^{4})}$

小数形式：

$x = - 0.00675469 \dots$

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