有限数学示例

$\ln (x - 2) + \ln (2 x + 1) = 8$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln ((x - 2) (2 x + 1)) = 8$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 2) (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\ln (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 8$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\ln (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x + 1)) = 8$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\ln (x (2 x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\ln (2 x \cdot x + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

解题步骤 1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$\ln (2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

解题步骤 1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (2 x^{2} + x \cdot 1 - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

解题步骤 1.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\ln (2 x^{2} + x - 2 (2 x) - 2 \cdot 1) = 8$

解题步骤 1.3.1.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\ln (2 x^{2} + x - 4 x - 2 \cdot 1) = 8$

解题步骤 1.3.1.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\ln (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 8$

解题步骤 1.3.2

从 $x$ 中减去 $4 x$ 。

$\ln (2 x^{2} - 3 x - 2) = 8$

解题步骤 2

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (2 x^{2} - 3 x - 2)} = e^{8}$

解题步骤 3

使用对数的定义将 $\ln (2 x^{2} - 3 x - 2) = 8$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{8} = 2 x^{2} - 3 x - 2$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $2 x^{2} - 3 x - 2 = e^{8}$ 。

$2 x^{2} - 3 x - 2 = e^{8}$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $e^{8}$ 。

$2 x^{2} - 3 x - 2 - e^{8} = 0$

解题步骤 4.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.4

将 $a = 2$ 、 $b = - 3$ 和 $c = - 2 - e^{8}$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (- 2 - e^{8}))}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.5

化简。

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解题步骤 4.5.1

化简分子。

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解题步骤 4.5.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot (- 2 - e^{8})}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.5.1.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot (- 2 - e^{8})}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.5.1.3

运用分配律。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2 - 8 (- e^{8})}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.5.1.4

将 $- 8$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16 - 8 (- e^{8})}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.5.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16 + 8 e^{8}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.5.1.6

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.5.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

解题步骤 4.6

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}, \frac{3 - \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

解题步骤 5

排除不能使 $\ln (x - 2) + \ln (2 x + 1) = 8$ 成立的解。

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{3 + \sqrt{25 + 8 e^{8}}}{4}$

小数形式：

$x = 39.37695294 \dots$

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