有限数学示例

5 {log}_{2} (x) - {log}_{2} (2 x^{3}) = 5

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

5 {log}_{2} (x) - {log}_{2} (2 x^{3}) = 5

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

化简

5 {log}_{2} (x) - {log}_{2} (2 x^{3})

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3})$ 。

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解题步骤 2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简

5 {log}_{2} (x)

$5 \log_{2} (x)$ 。

{log}_{2} (x^{5}) - {log}_{2} (2 x^{3}) = 5

$\log_{2} (x^{5}) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$

解题步骤 2.1.2

使用对数的商数性质，即

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

{log}_{2} (\frac{x^{5}}{2 x^{3}}) = 5

$\log_{2} (\frac{x^{5}}{2 x^{3}}) = 5$

解题步骤 2.1.3

通过约去公因数来化简表达式

\frac{x^{5}}{2 x^{3}}

$\frac{x^{5}}{2 x^{3}}$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

从

x^{5}

$x^{5}$ 中分解出因数

x^{3}

$x^{3}$ 。

{log}_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{2 x^{3}}) = 5

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{2 x^{3}}) = 5$

解题步骤 2.1.3.2

从

2 x^{3}

$2 x^{3}$ 中分解出因数

x^{3}

$x^{3}$ 。

{log}_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5$

解题步骤 2.1.3.3

约去公因数。

$\log_{2} (\frac{x^{3} x^{2}}{x^{3} \cdot 2}) = 5$

解题步骤 2.1.3.4

重写表达式。

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{2}) = 5$

解题步骤 2.1.4

将

$\frac{x^{2}}{2}$ 重写为

$x^{2} \cdot 2^{- 1}$ 。

$\log_{2} (x^{2} \cdot 2^{- 1}) = 5$

解题步骤 2.1.5

将

$\log_{2} (x^{2} \cdot 2^{- 1})$ 重写为

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (2^{- 1})$ 。

$\log_{2} (x^{2}) + \log_{2} (2^{- 1}) = 5$

解题步骤 2.1.6

使用对数规则把

$- 1$ 移到指数外部。

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (2) = 5$

解题步骤 2.1.7

$2$ 的对数底

$2$ 的值为

$1$ 。

$\log_{2} (x^{2}) - 1 \cdot 1 = 5$

解题步骤 2.1.8

将

$- 1$ 乘以

$1$ 。

$\log_{2} (x^{2}) - 1 = 5$

解题步骤 3

将所有不包含

$x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.1

在等式两边都加上

$1$ 。

$\log_{2} (x^{2}) = 5 + 1$

解题步骤 3.2

将

$5$ 和

$1$ 相加。

$\log_{2} (x^{2}) = 6$

解题步骤 4

以指数形式书写。

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解题步骤 4.1

对于对数方程，只要满足

$x > 0$ 、

$b > 0$ 和

$b \neq 1$ ，则

$\log_{b} (x) = y$ 和

$b^{y} = x$ 是等价的。在本例中，

$b = 2$ 、

$x = x^{2}$ 和

$y = 6$ 。

$b = 2$

$x = x^{2}$

$y = 6$

解题步骤 4.2

将

$b$ 、

$x$ 和

$y$ 的值代入方程

$b^{y} = x$ 。

$2^{6} = x^{2}$

解题步骤 5

求解

$x$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为

$x^{2} = 2^{6}$ 。

$x^{2} = 2^{6}$

解题步骤 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2^{6}}$

解题步骤 5.3

化简

$\pm \sqrt{2^{6}}$ 。

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解题步骤 5.3.1

对

$2$ 进行

$6$ 次方运算。

$x = \pm \sqrt{64}$

解题步骤 5.3.2

将

$64$ 重写为

$8^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

解题步骤 5.3.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 8$

解题步骤 5.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.4.1

首先，利用

$\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 8$

解题步骤 5.4.2

下一步，使用

$\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 8$

解题步骤 5.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 8, - 8$

解题步骤 6

排除不能使

$5 \log_{2} (x) - \log_{2} (2 x^{3}) = 5$ 成立的解。

$x = 8$

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