有限数学示例

$P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$

解题步骤 1

将 $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ 写为等式。

$y = 20000 {(1.02)}^{t}$

解题步骤 2

交换变量。

$t = 20000 {(1.02)}^{y}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ 。

$20000 \cdot {1.02}^{y} = t$

解题步骤 3.2

将 $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ 中的每一项除以 $20000$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $20000 \cdot {1.02}^{y} = t$ 中的每一项都除以 $20000$ 。

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $20000$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{20000 \cdot {1.02}^{y}}{20000} = \frac{t}{20000}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 ${1.02}^{y}$ 除以 $1$ 。

${1.02}^{y} = \frac{t}{20000}$

解题步骤 3.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln ({1.02}^{y}) = \ln (\frac{t}{20000})$

解题步骤 3.4

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln ({1.02}^{y})$ 。

$y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$

解题步骤 3.5

将 $y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ 中的每一项除以 $\ln (1.02)$ 并化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $y \ln (1.02) = \ln (\frac{t}{20000})$ 中的每一项都除以 $\ln (1.02)$ 。

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

约去 $\ln (1.02)$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (1.02)}{\ln (1.02)} = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

解题步骤 3.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $P^{- 1} (t)$ to show the final answer.

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

解题步骤 5

验证 $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ 是否为 $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $P^{- 1} (P (t)) = t$ 和 $P (P^{- 1} (t)) = t$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $P^{- 1} (P (t))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$P^{- 1} (P (t))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $P$ 的值代入 $P^{- 1}$ 来计算 $P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t})$ 。

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

解题步骤 5.2.3

约去 $20000$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

约去公因数。

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln (\frac{20000 {(1.02)}^{t}}{20000})}{\ln (1.02)}$

解题步骤 5.2.3.2

用 ${(1.02)}^{t}$ 除以 $1$ 。

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{\ln ({(1.02)}^{t})}{\ln (1.02)}$

解题步骤 5.2.4

通过将 $t$ 移到对数外来展开 $\ln ({(1.02)}^{t})$ 。

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

解题步骤 5.2.5

约去 $\ln (1.02)$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.5.1

约去公因数。

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = \frac{t \ln (1.02)}{\ln (1.02)}$

解题步骤 5.2.5.2

用 $t$ 除以 $1$ 。

$P^{- 1} (20000 {(1.02)}^{t}) = t$

解题步骤 5.3

计算 $P (P^{- 1} (t))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$P (P^{- 1} (t))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $P^{- 1}$ 的值代入 $P$ 来计算 $P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)})$ 。

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 {(1.02)}^{\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}}$

解题步骤 5.3.3

使用换底公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 。

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot {1.02}^{\log_{1.02} (\frac{t}{20000})}$

解题步骤 5.3.4

指数函数和对数函数互为反函数。

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

解题步骤 5.3.5

约去 $20000$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.1

约去公因数。

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = 20000 \cdot \frac{t}{20000}$

解题步骤 5.3.5.2

重写表达式。

$P (\frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}) = t$

解题步骤 5.4

由于 $P^{- 1} (P (t)) = t$ 和 $P (P^{- 1} (t)) = t$ ，因此 $P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$ 为 $P (t) = 20000 {(1.02)}^{t}$ 的反函数。

$P^{- 1} (t) = \frac{\ln (\frac{t}{20000})}{\ln (1.02)}$

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