有限数学示例

$2 y^{\frac{12}{5}} - 17 y^{\frac{7}{5}} + 35 y^{\frac{2}{5}} = 0$

解题步骤 1

求每项中都有的公因数 $y^{\frac{2}{5}}$ 。

$2 {(y^{\frac{2}{5}})}^{6} - 17 {(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{7}{2}} + 35 y^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 2

代入 $u$ 替换 $y^{\frac{2}{5}}$ 。

$2 {(u)}^{6} - 17 {(u)}^{\frac{7}{2}} + 35 (u) = 0$

解题步骤 3

求解 $u$ 。

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解题步骤 3.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.1.1

从 $2 u^{6} - 17 u^{\frac{7}{2}} + 35 u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

从 $2 u^{6}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (2 u^{5}) - 17 u^{\frac{7}{2}} + 35 u = 0$

解题步骤 3.1.1.2

从 $- 17 u^{\frac{7}{2}}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}}) + 35 u = 0$

解题步骤 3.1.1.3

从 $35 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35 = 0$

解题步骤 3.1.1.4

从 $u (2 u^{5}) + u (- 17 u^{\frac{5}{2}})$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35 = 0$

解题步骤 3.1.1.5

从 $u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}}) + u \cdot 35$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (2 u^{5} - 17 u^{\frac{5}{2}} + 35) = 0$

解题步骤 3.1.2

将 $u^{5}$ 重写为 ${(u^{\frac{5}{2}})}^{2}$ 。

$u (2 {(u^{\frac{5}{2}})}^{2} - 17 u^{\frac{5}{2}} + 35) = 0$

解题步骤 3.1.3

使 $u = u^{\frac{5}{2}}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $u^{\frac{5}{2}}$ 。

$u (2 u^{2} - 17 u + 35) = 0$

解题步骤 3.1.4

分组因式分解。

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解题步骤 3.1.4.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 35 = 70$ 并且它们的和为 $b = - 17$ 。

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解题步骤 3.1.4.1.1

从 $- 17 u$ 中分解出因数 $- 17$ 。

$u (2 u^{2} - 17 u + 35) = 0$

解题步骤 3.1.4.1.2

把 $- 17$ 重写为 $- 7$ 加 $- 10$

$u (2 u^{2} + (- 7 - 10) u + 35) = 0$

解题步骤 3.1.4.1.3

运用分配律。

$u (2 u^{2} - 7 u - 10 u + 35) = 0$

解题步骤 3.1.4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.1.4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$u ((2 u^{2} - 7 u) - 10 u + 35) = 0$

解题步骤 3.1.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (u (2 u - 7) - 5 (2 u - 7)) = 0$

解题步骤 3.1.4.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u - 7$ 来因式分解多项式。

$u ((2 u - 7) (u - 5)) = 0$

解题步骤 3.1.5

因数。

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解题步骤 3.1.5.1

使用 $u^{\frac{5}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$u ((2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5)) = 0$

解题步骤 3.1.5.2

去掉多余的括号。

$u (2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5) = 0$

解题步骤 3.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u = 0$

$2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$

$u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$

解题步骤 3.3

将 $u$ 设为等于 $0$ 。

$u = 0$

解题步骤 3.4

将 $2 u^{\frac{5}{2}} - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $2 u^{\frac{5}{2}} - 7$ 设为等于 $0$ 。

$2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$

解题步骤 3.4.2

求解 $u$ 的 $2 u^{\frac{5}{2}} - 7 = 0$ 。

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解题步骤 3.4.2.1

在等式两边都加上 $7$ 。

$2 u^{\frac{5}{2}} = 7$

解题步骤 3.4.2.2

将方程两边同时进行 $\frac{2}{5}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(2 u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 3.4.2.3

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

化简 ${(2 u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ 。

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解题步骤 3.4.2.3.1.1

对 $2 u^{\frac{5}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{\frac{2}{5}} {(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 3.4.2.3.1.2

将 ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.3.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 3.4.2.3.1.2.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.3.1.2.2.1

约去公因数。

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 3.4.2.3.1.2.2.2

重写表达式。

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 3.4.2.3.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.3.1.2.3.1

约去公因数。

$2^{\frac{2}{5}} u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 3.4.2.3.1.2.3.2

重写表达式。

$2^{\frac{2}{5}} u^{1} = 7^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 3.4.2.3.1.3

化简。

$2^{\frac{2}{5}} u = 7^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 3.4.2.3.1.4

将 $2^{\frac{2}{5}} u$ 中的因式重新排序。

$u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 3.4.2.4

将 $u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$ 中的每一项除以 $2^{\frac{2}{5}}$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.4.1

将 $u \cdot 2^{\frac{2}{5}} = 7^{\frac{2}{5}}$ 中的每一项都除以 $2^{\frac{2}{5}}$ 。

$\frac{u \cdot 2^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 3.4.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.4.2.1

约去公因数。

$\frac{u \cdot 2^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 3.4.2.4.2.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$

解题步骤 3.5

将 $u^{\frac{5}{2}} - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $u^{\frac{5}{2}} - 5$ 设为等于 $0$ 。

$u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$

解题步骤 3.5.2

求解 $u$ 的 $u^{\frac{5}{2}} - 5 = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$u^{\frac{5}{2}} = 5$

解题步骤 3.5.2.2

将方程两边同时进行 $\frac{2}{5}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 3.5.2.3

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.3.1

化简 ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ 。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1

将 ${(u^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 3.5.2.3.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1.2.1

约去公因数。

$u^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 5^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 3.5.2.3.1.1.2.2

重写表达式。

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 3.5.2.3.1.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1.3.1

约去公因数。

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 3.5.2.3.1.1.3.2

重写表达式。

$u^{1} = 5^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2

化简。

$u = 5^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 3.6

最终解为使 $u (2 u^{\frac{5}{2}} - 7) (u^{\frac{5}{2}} - 5) = 0$ 成立的所有值。

$u = 0, \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}, 5^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 4

代入 $y$ 替换 $u$ 。

$y^{\frac{2}{5}} = 0, \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}, 5^{\frac{2}{5}}$

解题步骤 5

对 $y$ 求解 $y^{\frac{2}{5}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将方程两边同时进行 $\frac{5}{2}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 5.2

化简指数。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

化简 ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

将 ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 5.2.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 5.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 5.2.1.1.1.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1.3.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 5.2.1.1.1.3.2

重写表达式。

$y^{1} = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 5.2.1.1.2

化简。

$y = \pm 0^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

化简 $\pm 0^{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1

化简表达式。

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解题步骤 5.2.2.1.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$y = \pm {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 5.2.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

解题步骤 5.2.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1

约去公因数。

$y = \pm 0^{2 (\frac{5}{2})}$

解题步骤 5.2.2.1.2.2

重写表达式。

$y = \pm 0^{5}$

解题步骤 5.2.2.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = \pm 0$

解题步骤 5.2.2.1.4

正负 $0$ 是 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 6

对 $y$ 求解 $y^{\frac{2}{5}} = \frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$ 。

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解题步骤 6.1

将方程两边同时进行 $\frac{5}{2}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 6.2

化简指数。

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解题步骤 6.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.2.1.1

化简 ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1.1

将 ${(y^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 6.2.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$y^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 6.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 6.2.1.1.1.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.1.3.1

约去公因数。

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 6.2.1.1.1.3.2

重写表达式。

$y^{1} = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 6.2.1.1.2

化简。

$y = \pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

化简 $\pm {(\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}})}^{\frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1

对 $\frac{7^{\frac{2}{5}}}{2^{\frac{2}{5}}}$ 运用乘积法则。

$y = \pm \frac{{(7^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.1.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

将 ${(7^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{7^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.1.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1.2.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{7^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.1.2.1.2.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.1.2.1.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1.3.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.1.2.1.3.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{7^{1}}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

计算指数。

$y = \pm \frac{7}{{(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.1.3

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1.3.1

将 ${(2^{\frac{2}{5}})}^{\frac{5}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.2.1.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.1.3.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.3.1.2.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{2}}}$

解题步骤 6.2.2.1.3.1.2.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

解题步骤 6.2.2.1.3.1.3

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.3.1.3.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{7}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

解题步骤 6.2.2.1.3.1.3.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{7}{2^{1}}$

解题步骤 6.2.2.1.3.2

计算指数。

$y = \pm \frac{7}{2}$

解题步骤 6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{7}{2}$

解题步骤 6.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{7}{2}$

解题步骤 6.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{7}{2}, - \frac{7}{2}$

解题步骤 7

因为指数相等，所以方程两边指数的底必须相等。

$y = 5$

解题步骤 8

列出所有解。

$y = 0, \frac{7}{2}, - \frac{7}{2}, 5$

解题步骤 9

排除不能使 $2 y^{\frac{12}{5}} - 17 y^{\frac{7}{5}} + 35 y^{\frac{2}{5}} = 0$ 成立的解。

$y = 0, \frac{7}{2}, 5$

解题步骤 10

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$y = 0, \frac{7}{2}, 5$

小数形式：

$y = 0, 3.5, 5$

带分数形式：

$y = 0, 3 \frac{1}{2}, 5$

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