有限数学示例

$\frac{x + 5}{x^{2} + x - 12} - \frac{x - 7}{x^{2} + 7 x + 12}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $1$ 。

$- 3, 4$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} - \frac{x - 7}{x^{2} + 7 x + 12}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 7 x + 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $12$ ，和为 $7$ 。

$3, 4$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 。

$\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x - 3) (x + 4) (x + 3)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{x + 5}{(x - 3) (x + 4)}$ 乘以 $\frac{x + 3}{x + 3}$ 。

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x - 3) (x + 4) (x + 3)} - \frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{x - 7}{(x + 3) (x + 4)}$ 乘以 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 。

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x - 3) (x + 4) (x + 3)} - \frac{(x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x - 3) (x + 4) (x + 3)$ 的因式。

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)} - \frac{(x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(x + 5) (x + 3) - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 5) (x + 3)$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$\frac{x (x + 3) + 5 (x + 3) - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 5 (x + 3) - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + x \cdot 3 + 5 x + 5 \cdot 3 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x^{2} + 3 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 3 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x^{2} + 3 x + 5 x + 15 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.2.2

将 $3 x$ 和 $5 x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - (x - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 + (- x - - 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.4

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 + (- x + 7) (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.5

使用 FOIL 方法展开 $(- x + 7) (x - 3)$ 。

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解题步骤 6.5.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x (x - 3) + 7 (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.5.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x \cdot x - x \cdot - 3 + 7 (x - 3)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.5.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x \cdot x - x \cdot - 3 + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.6.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.6.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} - x \cdot - 3 + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.6.1.2

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} + 3 x + 7 x + 7 \cdot - 3}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.6.1.3

将 $7$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} + 3 x + 7 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.6.2

将 $3 x$ 和 $7 x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 8 x + 15 - x^{2} + 10 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.7

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{8 x + 15 + 0 + 10 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.8

将 $8 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{8 x + 15 + 10 x - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.9

将 $8 x$ 和 $10 x$ 相加。

$\frac{18 x + 15 - 21}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.10

从 $15$ 中减去 $21$ 。

$\frac{18 x - 6}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.11

从 $18 x - 6$ 中分解出因数 $6$ 。

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解题步骤 6.11.1

从 $18 x$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (3 x) - 6}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.11.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (3 x) + 6 (- 1)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

解题步骤 6.11.3

从 $6 (3 x) + 6 (- 1)$ 中分解出因数 $6$ 。

$\frac{6 (3 x - 1)}{(x + 3) (x + 4) (x - 3)}$

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