有限数学示例

$\frac{e^{4 t} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

将 $e^{4 t}$ 重写为 ${(e^{2 t})}^{2}$ 。

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + e^{2 t}}{e^{2 t}}$

解题步骤 1.1.2

将 $e^{2 t}$ 重写为 ${(e^{t})}^{2}$ 。

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 e^{3 t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

解题步骤 1.1.3

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 e^{3 t} = 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t}$

解题步骤 1.1.4

重写多项式。

$\frac{{(e^{2 t})}^{2} + 2 \cdot e^{2 t} \cdot e^{t} + {(e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

解题步骤 1.1.5

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = e^{2 t}$ 和 $b = e^{t}$ 。

$\frac{{(e^{2 t} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

解题步骤 1.2

将 $e^{2 t}$ 重写为 ${(e^{t})}^{2}$ 。

$\frac{{({(e^{t})}^{2} + e^{t})}^{2}}{e^{2 t}}$

解题步骤 1.3

使 $u = e^{t}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $e^{t}$ 。

$\frac{{(u^{2} + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

解题步骤 1.4

从 $u^{2} + u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 1.4.1

从 $u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{{(u \cdot u + u)}^{2}}{e^{2 t}}$

解题步骤 1.4.2

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{{(u \cdot u + u^{1})}^{2}}{e^{2 t}}$

解题步骤 1.4.3

从 $u^{1}$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{{(u \cdot u + u \cdot 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

解题步骤 1.4.4

从 $u \cdot u + u \cdot 1$ 中分解出因数 $u$ 。

$\frac{{(u (u + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

解题步骤 1.5

使用 $e^{t}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{{(e^{t} (e^{t} + 1))}^{2}}{e^{2 t}}$

解题步骤 1.6

对 $e^{t} (e^{t} + 1)$ 运用乘积法则。

$\frac{{(e^{t})}^{2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

解题步骤 1.7

将 ${(e^{t})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{e^{t \cdot 2} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

解题步骤 1.7.2

将 $2$ 移到 $t$ 的左侧。

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

解题步骤 2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.1

约去 $e^{2 t}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1

约去公因数。

$\frac{e^{2 t} {(e^{t} + 1)}^{2}}{e^{2 t}}$

解题步骤 2.1.2

用 ${(e^{t} + 1)}^{2}$ 除以 $1$ 。

${(e^{t} + 1)}^{2}$

解题步骤 2.2

将 ${(e^{t} + 1)}^{2}$ 重写为 $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ 。

$(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$

解题步骤 3

使用 FOIL 方法展开 $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ 。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1)$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1)$

解题步骤 3.3

运用分配律。

$e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

解题步骤 4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

通过指数相加将 $e^{t}$ 乘以 $e^{t}$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.1.1.2

将 $t$ 和 $t$ 相加。

$e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.1.2

将 $e^{t}$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3

将 $e^{t}$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1$

解题步骤 4.2

将 $e^{t}$ 和 $e^{t}$ 相加。

$e^{2 t} + 2 e^{t} + 1$

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