有限数学示例

$4 x^{3} + 7 x^{2} = 5 x + 6$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $5 x$ 。

$4 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x = 6$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$4 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 6 = 0$

解题步骤 3

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

使用有理根检验法因式分解 $4 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 6$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 3.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 6, \pm 1.5, \pm 3, \pm 2, \pm 0.75$

解题步骤 3.1.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$4 \cdot 1^{3} + 7 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 6$

解题步骤 3.1.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \cdot 1 + 7 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 6$

解题步骤 3.1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4 + 7 \cdot 1^{2} - 5 \cdot 1 - 6$

解题步骤 3.1.3.4

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 + 7 \cdot 1 - 5 \cdot 1 - 6$

解题步骤 3.1.3.5

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$4 + 7 - 5 \cdot 1 - 6$

解题步骤 3.1.3.6

将 $4$ 和 $7$ 相加。

$11 - 5 \cdot 1 - 6$

解题步骤 3.1.3.7

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$11 - 5 - 6$

解题步骤 3.1.3.8

从 $11$ 中减去 $5$ 。

$6 - 6$

解题步骤 3.1.3.9

从 $6$ 中减去 $6$ 。

$0$

解题步骤 3.1.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{4 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 6}{x - 1}$

解题步骤 3.1.5

用 $4 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 6$ 除以 $x - 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$4 x^{3}$

$7 x^{2}$

$5 x$

$6$

解题步骤 3.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $4 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$4 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$

解题步骤 3.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$4 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

解题步骤 3.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{3} - 4 x^{2}$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

解题步骤 3.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$

解题步骤 3.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$4 x^{2}$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$

解题步骤 3.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $11 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$4 x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$

解题步骤 3.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$

解题步骤 3.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $11 x^{2} - 11 x$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$

解题步骤 3.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$6 x$

解题步骤 3.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$4 x^{2}$	+	$11 x$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$6 x$	-	$6$

解题步骤 3.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $6 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$4 x^{2}$	+	$11 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$6 x$	-	$6$

解题步骤 3.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$	+	$11 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							+	$6 x$	-	$6$

解题步骤 3.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $6 x - 6$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$	+	$11 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$

解题步骤 3.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$	+	$11 x$	+	$6$
$x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$4 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
					+	$11 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$
							+	$6 x$	-	$6$
							-	$6 x$	+	$6$
										$0$

解题步骤 3.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$4 x^{2} + 11 x + 6$

解题步骤 3.1.6

将 $4 x^{3} + 7 x^{2} - 5 x - 6$ 书写为因数的集合。

$(x - 1) (4 x^{2} + 11 x + 6) = 0$

解题步骤 3.2

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot 6 = 24$ 并且它们的和为 $b = 11$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1.1

从 $11 x$ 中分解出因数 $11$ 。

$(x - 1) (4 x^{2} + 11 (x) + 6) = 0$

解题步骤 3.2.1.1.2

把 $11$ 重写为 $3$ 加 $8$

$(x - 1) (4 x^{2} + (3 + 8) x + 6) = 0$

解题步骤 3.2.1.1.3

运用分配律。

$(x - 1) (4 x^{2} + 3 x + 8 x + 6) = 0$

解题步骤 3.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x - 1) ((4 x^{2} + 3 x) + 8 x + 6) = 0$

解题步骤 3.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x - 1) (x (4 x + 3) + 2 (4 x + 3)) = 0$

解题步骤 3.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $4 x + 3$ 来因式分解多项式。

$(x - 1) ((4 x + 3) (x + 2)) = 0$

解题步骤 3.2.2

去掉多余的括号。

$(x - 1) (4 x + 3) (x + 2) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$4 x + 3 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 6

将 $4 x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $4 x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$4 x + 3 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $4 x + 3 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$4 x = - 3$

解题步骤 6.2.2

将 $4 x = - 3$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.1

将 $4 x = - 3$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

解题步骤 6.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

解题步骤 6.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 3}{4}$

解题步骤 6.2.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{3}{4}$

解题步骤 7

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 7.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 7.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 8

最终解为使 $(x - 1) (4 x + 3) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - \frac{3}{4}, - 2$

解题步骤 9

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = 1, - \frac{3}{4}, - 2$

小数形式：

$x = 1, - 0.75, - 2$

有限数学 示例

有限数学示例