有限数学示例

| \frac{1}{8} - x | < 3

$| \frac{1}{8} - x | < 3$

解题步骤 1

将

| \frac{1}{8} - x | < 3

$| \frac{1}{8} - x | < 3$ 书写为分段式。

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解题步骤 1.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

\frac{1}{8} - x \geq 0

$\frac{1}{8} - x \geq 0$

解题步骤 1.2

求解不等式。

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解题步骤 1.2.1

从不等式两边同时减去

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ 。

- x \geq - \frac{1}{8}

$- x \geq - \frac{1}{8}$

解题步骤 1.2.2

将

- x \geq - \frac{1}{8}

$- x \geq - \frac{1}{8}$ 中的每一项除以

- 1

$- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将

- x \geq - \frac{1}{8}

$- x \geq - \frac{1}{8}$ 中的每一项除以

- 1

$- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

\frac{x}{1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$\frac{x}{1} \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

解题步骤 1.2.2.2.2

用

x

$x$ 除以

1

$1$ 。

x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$x \leq \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

x \leq \frac{\frac{1}{8}}{1}

$x \leq \frac{\frac{1}{8}}{1}$

解题步骤 1.2.2.3.2

用

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ 除以

1

$1$ 。

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$

解题步骤 1.3

在

\frac{1}{8} - x

$\frac{1}{8} - x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

\frac{1}{8} - x < 3

$\frac{1}{8} - x < 3$

解题步骤 1.4

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

\frac{1}{8} - x < 0

$\frac{1}{8} - x < 0$

解题步骤 1.5

求解不等式。

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解题步骤 1.5.1

从不等式两边同时减去

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ 。

- x < - \frac{1}{8}

$- x < - \frac{1}{8}$

解题步骤 1.5.2

将

- x < - \frac{1}{8}

$- x < - \frac{1}{8}$ 中的每一项除以

- 1

$- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.5.2.1

将

- x < - \frac{1}{8}

$- x < - \frac{1}{8}$ 中的每一项除以

- 1

$- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

\frac{- x}{- 1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

解题步骤 1.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

\frac{x}{1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$\frac{x}{1} > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

解题步骤 1.5.2.2.2

用

x

$x$ 除以

1

$1$ 。

x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}

$x > \frac{- \frac{1}{8}}{- 1}$

解题步骤 1.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

x > \frac{\frac{1}{8}}{1}

$x > \frac{\frac{1}{8}}{1}$

解题步骤 1.5.2.3.2

用

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ 除以

1

$1$ 。

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$

解题步骤 1.6

在

\frac{1}{8} - x

$\frac{1}{8} - x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以

- 1

$- 1$ 。

- (\frac{1}{8} - x) < 3

$- (\frac{1}{8} - x) < 3$

解题步骤 1.7

书写为分段式。

{\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - (\frac{1}{8} - x) < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - (\frac{1}{8} - x) < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

解题步骤 1.8

化简

- (\frac{1}{8} - x) < 3

$- (\frac{1}{8} - x) < 3$ 。

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解题步骤 1.8.1

运用分配律。

{\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} - - x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} - - x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

解题步骤 1.8.2

乘以

- - x

$- - x$ 。

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解题步骤 1.8.2.1

将

- 1

$- 1$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

{\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + 1 x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + 1 x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

解题步骤 1.8.2.2

将

x

$x$ 乘以

1

$1$ 。

{\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

{\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

{\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

{\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}

${\begin{cases} \frac{1}{8} - x < 3 & x \leq \frac{1}{8} \\ - \frac{1}{8} + x < 3 & x > \frac{1}{8} \end{cases}$

解题步骤 2

当

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$ 时求解

\frac{1}{8} - x < 3

$\frac{1}{8} - x < 3$ 。

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解题步骤 2.1

求解

x

$x$ 的

\frac{1}{8} - x < 3

$\frac{1}{8} - x < 3$ 。

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解题步骤 2.1.1

将所有不包含

x

$x$ 的项移到不等式右边。

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解题步骤 2.1.1.1

从不等式两边同时减去

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ 。

- x < 3 - \frac{1}{8}

$- x < 3 - \frac{1}{8}$

解题步骤 2.1.1.2

要将

3

$3$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ 。

- x < 3 \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8}

$- x < 3 \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{8}$

解题步骤 2.1.1.3

组合

3

$3$ 和

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ 。

- x < \frac{3 \cdot 8}{8} - \frac{1}{8}

$- x < \frac{3 \cdot 8}{8} - \frac{1}{8}$

解题步骤 2.1.1.4

在公分母上合并分子。

- x < \frac{3 \cdot 8 - 1}{8}

$- x < \frac{3 \cdot 8 - 1}{8}$

解题步骤 2.1.1.5

化简分子。

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解题步骤 2.1.1.5.1

将

3

$3$ 乘以

8

$8$ 。

- x < \frac{24 - 1}{8}

$- x < \frac{24 - 1}{8}$

解题步骤 2.1.1.5.2

从

24

$24$ 中减去

1

$1$ 。

- x < \frac{23}{8}

$- x < \frac{23}{8}$

- x < \frac{23}{8}

$- x < \frac{23}{8}$

- x < \frac{23}{8}

$- x < \frac{23}{8}$

解题步骤 2.1.2

将

- x < \frac{23}{8}

$- x < \frac{23}{8}$ 中的每一项除以

- 1

$- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.1.2.1

将

- x < \frac{23}{8}

$- x < \frac{23}{8}$ 中的每一项除以

- 1

$- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

\frac{- x}{- 1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}

$\frac{- x}{- 1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

解题步骤 2.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.1.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

\frac{x}{1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}

$\frac{x}{1} > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

解题步骤 2.1.2.2.2

用

x

$x$ 除以

1

$1$ 。

x > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}

$x > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

x > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}

$x > \frac{\frac{23}{8}}{- 1}$

解题步骤 2.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.1.2.3.1

移动

\frac{\frac{23}{8}}{- 1}

$\frac{\frac{23}{8}}{- 1}$ 中分母的负号。

x > - 1 \cdot \frac{23}{8}

$x > - 1 \cdot \frac{23}{8}$

解题步骤 2.1.2.3.2

将

- 1 \cdot \frac{23}{8}

$- 1 \cdot \frac{23}{8}$ 重写为

- \frac{23}{8}

$- \frac{23}{8}$ 。

x > - \frac{23}{8}

$x > - \frac{23}{8}$

x > - \frac{23}{8}

$x > - \frac{23}{8}$

x > - \frac{23}{8}

$x > - \frac{23}{8}$

x > - \frac{23}{8}

$x > - \frac{23}{8}$

解题步骤 2.2

求

x > - \frac{23}{8}

$x > - \frac{23}{8}$ 和

x \leq \frac{1}{8}

$x \leq \frac{1}{8}$ 的交点。

- \frac{23}{8} < x \leq \frac{1}{8}

$- \frac{23}{8} < x \leq \frac{1}{8}$

- \frac{23}{8} < x \leq \frac{1}{8}

$- \frac{23}{8} < x \leq \frac{1}{8}$

解题步骤 3

当

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$ 时求解

- \frac{1}{8} + x < 3

$- \frac{1}{8} + x < 3$ 。

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解题步骤 3.1

将所有不包含

x

$x$ 的项移到不等式右边。

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解题步骤 3.1.1

在不等式两边同时加上

\frac{1}{8}

$\frac{1}{8}$ 。

x < 3 + \frac{1}{8}

$x < 3 + \frac{1}{8}$

解题步骤 3.1.2

要将

3

$3$ 写成带有公分母的分数，请乘以

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ 。

x < 3 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8}

$x < 3 \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{8}$

解题步骤 3.1.3

组合

3

$3$ 和

\frac{8}{8}

$\frac{8}{8}$ 。

x < \frac{3 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}

$x < \frac{3 \cdot 8}{8} + \frac{1}{8}$

解题步骤 3.1.4

在公分母上合并分子。

x < \frac{3 \cdot 8 + 1}{8}

$x < \frac{3 \cdot 8 + 1}{8}$

解题步骤 3.1.5

化简分子。

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解题步骤 3.1.5.1

将

3

$3$ 乘以

8

$8$ 。

x < \frac{24 + 1}{8}

$x < \frac{24 + 1}{8}$

解题步骤 3.1.5.2

将

24

$24$ 和

1

$1$ 相加。

x < \frac{25}{8}

$x < \frac{25}{8}$

x < \frac{25}{8}

$x < \frac{25}{8}$

x < \frac{25}{8}

$x < \frac{25}{8}$

解题步骤 3.2

求

x < \frac{25}{8}

$x < \frac{25}{8}$ 和

x > \frac{1}{8}

$x > \frac{1}{8}$ 的交点。

\frac{1}{8} < x < \frac{25}{8}

$\frac{1}{8} < x < \frac{25}{8}$

\frac{1}{8} < x < \frac{25}{8}

$\frac{1}{8} < x < \frac{25}{8}$

解题步骤 4

求解的并集。

- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}

$- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

不等式形式：

- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}

$- \frac{23}{8} < x < \frac{25}{8}$

区间计数法：

(- \frac{23}{8}, \frac{25}{8})

$(- \frac{23}{8}, \frac{25}{8})$

解题步骤 6

有限数学 示例

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