有限数学示例

\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$

解题步骤 1

使用对数的商数性质，即

\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})

$\log (\frac{x - 2}{2 x + 1}) = \log (\frac{1}{x})$

解题步骤 2

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}

$\frac{x - 2}{2 x + 1} = \frac{1}{x}$

解题步骤 3

求解

x

$x$ 。

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解题步骤 3.1

将第一个分数的分子乘以第二个分数的分母。使其等于第一个分数的分母与第二个分数的分子的乘积。

(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

解题步骤 3.2

求解

x

$x$ 的方程。

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解题步骤 3.2.1

化简

(x - 2) x

$(x - 2) x$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

重写。

0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1

$0 + 0 + (x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.2

通过加上各个零进行化简。

(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1

$(x - 2) x = (2 x + 1) \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.3

运用分配律。

x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1

$x \cdot x - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.4

将

x

$x$ 乘以

x

$x$ 。

x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1

$x^{2} - 2 x = (2 x + 1) \cdot 1$

解题步骤 3.2.2

将

2 x + 1

$2 x + 1$ 乘以

1

$1$ 。

x^{2} - 2 x = 2 x + 1

$x^{2} - 2 x = 2 x + 1$

解题步骤 3.2.3

将所有包含

x

$x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.2.3.1

从等式两边同时减去

2 x

$2 x$ 。

x^{2} - 2 x - 2 x = 1

$x^{2} - 2 x - 2 x = 1$

解题步骤 3.2.3.2

从

- 2 x

$- 2 x$ 中减去

2 x

$2 x$ 。

x^{2} - 4 x = 1

$x^{2} - 4 x = 1$

x^{2} - 4 x = 1

$x^{2} - 4 x = 1$

解题步骤 3.2.4

从等式两边同时减去

1

$1$ 。

x^{2} - 4 x - 1 = 0

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

解题步骤 3.2.5

使用二次公式求解。

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.2.6

将

a = 1

$a = 1$ 、

b = - 4

$b = - 4$ 和

c = - 1

$c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解

x

$x$ 。

\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.7

化简。

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解题步骤 3.2.7.1

化简分子。

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解题步骤 3.2.7.1.1

对

- 4

$- 4$ 进行

2

$2$ 次方运算。

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.7.1.2

乘以

- 4 \cdot 1 \cdot - 1

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.2.7.1.2.1

将

- 4

$- 4$ 乘以

1

$1$ 。

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.7.1.2.2

将

- 4

$- 4$ 乘以

- 1

$- 1$ 。

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.7.1.3

将

16

$16$ 和

4

$4$ 相加。

x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.7.1.4

将

20

$20$ 重写为

2^{2} \cdot 5

$2^{2} \cdot 5$ 。

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解题步骤 3.2.7.1.4.1

从

20

$20$ 中分解出因数

4

$4$ 。

x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.7.1.4.2

将

4

$4$ 重写为

2^{2}

$2^{2}$ 。

x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.7.1.5

从根式下提出各项。

x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.2.7.2

将

2

$2$ 乘以

1

$1$ 。

x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.2.7.3

化简

\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}

$\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ 。

x = 2 \pm \sqrt{5}

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

x = 2 \pm \sqrt{5}

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

解题步骤 3.2.8

最终答案为两个解的组合。

x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

解题步骤 4

排除不能使

\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})

$\log (x - 2) - \log (2 x + 1) = \log (\frac{1}{x})$ 成立的解。

x = 2 + \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

x = 2 + \sqrt{5}

$x = 2 + \sqrt{5}$

小数形式：

x = 4.23606797 \dots

$x = 4.23606797 \dots$

有限数学 示例

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