有限数学示例

$5 \ln (8 x) = 20 - 2 \ln (x)$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$5 \ln (8 x) + 2 \ln (x) = 20$

解题步骤 2

化简左边。

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解题步骤 2.1

化简 $5 \ln (8 x) + 2 \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln (8 x)$ 。

$\ln ({(8 x)}^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

解题步骤 2.1.1.2

对 $8 x$ 运用乘积法则。

$\ln (8^{5} x^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

解题步骤 2.1.1.3

对 $8$ 进行 $5$ 次方运算。

$\ln (32768 x^{5}) + 2 \ln (x) = 20$

解题步骤 2.1.1.4

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (x)$ 。

$\ln (32768 x^{5}) + \ln (x^{2}) = 20$

解题步骤 2.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (32768 x^{5} x^{2}) = 20$

解题步骤 2.1.3

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$\ln (32768 (x^{2} x^{5})) = 20$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\ln (32768 x^{2 + 5}) = 20$

解题步骤 2.1.3.3

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$\ln (32768 x^{7}) = 20$

解题步骤 3

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (32768 x^{7})} = e^{20}$

解题步骤 4

使用对数的定义将 $\ln (32768 x^{7}) = 20$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{20} = 32768 x^{7}$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $32768 x^{7} = e^{20}$ 。

$32768 x^{7} = e^{20}$

解题步骤 5.2

将 $32768 x^{7} = e^{20}$ 中的每一项除以 $32768$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $32768 x^{7} = e^{20}$ 中的每一项都除以 $32768$ 。

$\frac{32768 x^{7}}{32768} = \frac{e^{20}}{32768}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $32768$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{32768 x^{7}}{32768} = \frac{e^{20}}{32768}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $x^{7}$ 除以 $1$ 。

$x^{7} = \frac{e^{20}}{32768}$

解题步骤 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$

解题步骤 5.4

化简 $\sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $\sqrt[7]{\frac{e^{20}}{32768}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[7]{e^{20}}}{\sqrt[7]{32768}}$ 。

$x = \frac{\sqrt[7]{e^{20}}}{\sqrt[7]{32768}}$

解题步骤 5.4.2

化简分子。

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解题步骤 5.4.2.1

将 $e^{20}$ 重写为 ${(e^{2})}^{7} e^{6}$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.1

因式分解出 $e^{14}$ 。

$x = \frac{\sqrt[7]{e^{14} e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将 $e^{14}$ 重写为 ${(e^{2})}^{7}$ 。

$x = \frac{\sqrt[7]{{(e^{2})}^{7} e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

解题步骤 5.4.2.2

从根式下提出各项。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{32768}}$

解题步骤 5.4.3

化简分母。

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解题步骤 5.4.3.1

将 $32768$ 重写为 $4^{7} \cdot 2$ 。

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解题步骤 5.4.3.1.1

从 $32768$ 中分解出因数 $16384$ 。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{16384 (2)}}$

解题步骤 5.4.3.1.2

将 $16384$ 重写为 $4^{7}$ 。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{\sqrt[7]{4^{7} \cdot 2}}$

解题步骤 5.4.3.2

从根式下提出各项。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$

解题步骤 5.4.4

将 $\frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$ 。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$

解题步骤 5.4.5

合并和化简分母。

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解题步骤 5.4.5.1

将 $\frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}}}{4 \sqrt[7]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[7]{2}}^{6}}{{\sqrt[7]{2}}^{6}}$ 。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \sqrt[7]{2} {\sqrt[7]{2}}^{6}}$

解题步骤 5.4.5.2

移动 $\sqrt[7]{2}$ 。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 (\sqrt[7]{2} {\sqrt[7]{2}}^{6})}$

解题步骤 5.4.5.3

对 $\sqrt[7]{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 ({\sqrt[7]{2}}^{1} {\sqrt[7]{2}}^{6})}$

解题步骤 5.4.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{2}}^{1 + 6}}$

解题步骤 5.4.5.5

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {\sqrt[7]{2}}^{7}}$

解题步骤 5.4.5.6

将 ${\sqrt[7]{2}}^{7}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 5.4.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[7]{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{7}}$ 。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 {(2^{\frac{1}{7}})}^{7}}$

解题步骤 5.4.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{1}{7} \cdot 7}}$

解题步骤 5.4.5.6.3

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $7$ 。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{7}{7}}}$

解题步骤 5.4.5.6.4

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.5.6.4.1

约去公因数。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{\frac{7}{7}}}$

解题步骤 5.4.5.6.4.2

重写表达式。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2^{1}}$

解题步骤 5.4.5.6.5

计算指数。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} {\sqrt[7]{2}}^{6}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 5.4.6

化简分子。

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解题步骤 5.4.6.1

将 ${\sqrt[7]{2}}^{6}$ 重写为 $\sqrt[7]{2^{6}}$ 。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} \sqrt[7]{2^{6}}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 5.4.6.2

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{e^{6}} \sqrt[7]{64}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 5.4.6.3

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{4 \cdot 2}$

解题步骤 5.4.7

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{8}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{e^{2} \sqrt[7]{64 e^{6}}}{8}$

小数形式：

$x = 3.94254900 \dots$

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