有限数学示例

$\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$

解题步骤 1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x - b, x - a, 1$

解题步骤 1.2

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 1.3

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 1.4

$1, 1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$1$

解题步骤 1.5

$x - b$ 的因式是 $x - b$ 本身。

$(x - b) = x - b$

$(x - b)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 1.6

$x - a$ 的因式是 $x - a$ 本身。

$(x - a) = x - a$

$(x - a)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 1.7

$x - b, x - a$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$(x - b) (x - a)$

解题步骤 2

将 $\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$ 中的每一项乘以 $(x - b) (x - a)$ 以消去分数。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} = 2$ 中的每一项乘以 $(x - b) (x - a)$ 。

$\frac{a}{x - b} ((x - b) (x - a)) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

约去 $x - b$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{a}{x - b} ((x - b) (x - a)) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.1.2

重写表达式。

$a (x - a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.2

运用分配律。

$a x + a (- a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$a x - a \cdot a + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.4

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 2.2.1.4.1

移动 $a$ 。

$a x - (a \cdot a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.4.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) = 2 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.5

约去 $x - a$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.5.1

从 $(x - b) (x - a)$ 中分解出因数 $x - a$ 。

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - a) (x - b)) = 2 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.5.2

约去公因数。

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - a) (x - b)) = 2 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.5.3

重写表达式。

$a x - a^{2} + b (x - b) = 2 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.6

运用分配律。

$a x - a^{2} + b x + b (- b) = 2 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.7

使用乘法的交换性质重写。

$a x - a^{2} + b x - b \cdot b = 2 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.8

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b$ 。

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解题步骤 2.2.1.8.1

移动 $b$ 。

$a x - a^{2} + b x - (b \cdot b) = 2 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.8.2

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - b) (x - a)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

运用分配律。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x (x - a) - b (x - a))$

解题步骤 2.3.1.2

运用分配律。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x \cdot x + x (- a) - b (x - a))$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x \cdot x + x (- a) - b x - b (- a))$

解题步骤 2.3.2

化简项。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} + x (- a) - b x - b (- a))$

解题步骤 2.3.2.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x - b (- a))$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x - 1 \cdot - 1 b a)$

解题步骤 2.3.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x + 1 b a)$

解题步骤 2.3.2.1.5

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 (x^{2} - x a - b x + b a)$

解题步骤 2.3.2.2

运用分配律。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} + 2 (- x a) + 2 (- b x) + 2 (b a)$

解题步骤 2.3.3

化简。

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解题步骤 2.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 (x a) + 2 (- b x) + 2 (b a)$

解题步骤 2.3.3.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 (x a) - 2 (b x) + 2 b a$

解题步骤 2.3.4

去掉圆括号。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} = 2 x^{2} - 2 x a - 2 b x + 2 b a$

解题步骤 3

求解方程。

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解题步骤 3.1

将所有包含 $a$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.1.1

在等式两边都加上 $2 x a$ 。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} + 2 x a = 2 x^{2} - 2 b x + 2 b a$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $2 b a$ 。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} + 2 x a - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

解题步骤 3.1.3

将 $a x$ 和 $2 x a$ 相加。

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解题步骤 3.1.3.1

移动 $x$ 。

$- a^{2} + b x - b^{2} + a x + 2 a x - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

解题步骤 3.1.3.2

将 $a x$ 和 $2 a x$ 相加。

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a = 2 x^{2} - 2 b x$

解题步骤 3.2

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 3.2.1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 3.2.1.1

从等式两边同时减去 $2 x^{2}$ 。

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} = - 2 b x$

解题步骤 3.2.1.2

在等式两边都加上 $2 b x$ 。

$- a^{2} + b x - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} + 2 b x = 0$

解题步骤 3.2.2

将 $b x$ 和 $2 b x$ 相加。

$- a^{2} - b^{2} + 3 a x - 2 b a - 2 x^{2} + 3 b x = 0$

解题步骤 3.3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.4

将 $a = - 1$ 、 $b = 3 x - 2 b$ 和 $c = - b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x$ 的值代入二次公式中并求解 $a$ 。

$\frac{- (3 x - 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x))}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5

化简。

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解题步骤 3.5.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.1.1

运用分配律。

$a = \frac{- (3 x) - (- 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$a = \frac{- 3 x - (- 2 b) \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{{(3 x - 2 b)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.4

将 ${(3 x - 2 b)}^{2}$ 重写为 $(3 x - 2 b) (3 x - 2 b)$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{(3 x - 2 b) (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(3 x - 2 b) (3 x - 2 b)$ 。

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解题步骤 3.5.1.5.1

运用分配律。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x - 2 b) - 2 b (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.5.2

运用分配律。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x - 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.5.3

运用分配律。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 x (3 x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.5.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.1.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 x \cdot x) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.6.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.1.6.1.2.1

移动 $x$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 (x \cdot x)) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.6.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 x^{2}) + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.6.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x (- 2 b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 \cdot (- 2 x b) - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.6.1.5

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 2 b (3 x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.6.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 2 \cdot (3 b x) - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.6.1.7

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 b (- 2 b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.6.1.8

使用乘法的交换性质重写。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 b \cdot b) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.6.1.9

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b$ 。

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解题步骤 3.5.1.6.1.9.1

移动 $b$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 (b \cdot b)) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.6.1.9.2

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x - 2 \cdot (- 2 b^{2}) - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.6.1.10

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 x b - 6 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.6.2

从 $- 6 x b$ 中减去 $6 b x$ 。

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解题步骤 3.5.1.6.2.1

移动 $x$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 6 b x - 6 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.6.2.2

从 $- 6 b x$ 中减去 $6 b x$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.7

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} + 4 \cdot (- b^{2} - 2 x^{2} + 3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.8

运用分配律。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} + 4 (- b^{2}) + 4 (- 2 x^{2}) + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.9

化简。

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解题步骤 3.5.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} + 4 (- 2 x^{2}) + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.9.2

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} - 8 x^{2} + 4 (3 b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.9.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{9 x^{2} - 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} - 8 x^{2} + 12 (b x)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.10

从 $9 x^{2}$ 中减去 $8 x^{2}$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{- 12 b x + 4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2} + 12 b x}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.11

将 $- 12 b x$ 和 $12 b x$ 相加。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2} + 0}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.12

将 $4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{4 b^{2} - 4 b^{2} + x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.13

从 $4 b^{2}$ 中减去 $4 b^{2}$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{0 + x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.14

将 $0$ 和 $x^{2}$ 相加。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm \sqrt{x^{2}}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.1.15

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm x}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$a = \frac{- 3 x + 2 b \pm x}{- 2}$

解题步骤 3.5.3

化简 $\frac{- 3 x + 2 b \pm x}{- 2}$ 。

$a = \frac{3 x - 2 b \pm x}{2}$

解题步骤 3.6

最终答案为两个解的组合。

$a = - b + 2 x$

$a = - b + x$

$a = - b + 2 x$

$a = - b + x$

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