有限数学示例

$- \frac{x^{4} - x^{2} - 5}{x^{2} + 6} < 0$

解题步骤 1

通过把每个因数设为 $0$ 并求解的方式求表达式从负变为正的所有值。

$x^{4} - x^{2} - 5 = 0$

$x^{2} + 6 = 0$

解题步骤 2

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$u^{2} - u - 5 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 3

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4

将 $a = 1$ 、 $b = - 1$ 和 $c = - 5$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 5$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.1.3

将 $1$ 和 $20$ 相加。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}$

解题步骤 6

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{1 + \sqrt{21}}{2}, \frac{1 - \sqrt{21}}{2}$

解题步骤 7

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = 2.79128784$

${(x^{2})}^{1} = - 1.79128784$

解题步骤 8

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = 2.79128784$

解题步骤 9

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2.79128784}$

解题步骤 9.2

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 9.2.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{2.79128784}$

解题步骤 9.2.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{2.79128784}$

解题步骤 9.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

解题步骤 10

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = - 1.79128784$

解题步骤 11

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 11.1

去掉圆括号。

$x^{2} = - 1.79128784$

解题步骤 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1.79128784}$

解题步骤 11.3

化简 $\pm \sqrt{- 1.79128784}$ 。

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解题步骤 11.3.1

将 $- 1.79128784$ 重写为 $- 1 (1.79128784)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (1.79128784)}$

解题步骤 11.3.2

将 $\sqrt{- 1 (1.79128784)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.79128784}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1.79128784}$

解题步骤 11.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{1.79128784}$

解题步骤 11.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 11.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{1.79128784}$

解题步骤 11.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{1.79128784}$

解题步骤 11.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$

解题步骤 12

$x^{4} - x^{2} - 5 = 0$ 的解是 $x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}, i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$ 。

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}, i \sqrt{1.79128784}, - i \sqrt{1.79128784}$

解题步骤 13

从等式两边同时减去 $6$ 。

$x^{2} = - 6$

解题步骤 14

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

解题步骤 15

化简 $\pm \sqrt{- 6}$ 。

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解题步骤 15.1

将 $- 6$ 重写为 $- 1 (6)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

解题步骤 15.2

将 $\sqrt{- 1 (6)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

解题步骤 15.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{6}$

解题步骤 16

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 16.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{6}$

解题步骤 16.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{6}$

解题步骤 16.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

解题步骤 17

求解每个因式，以求出绝对值表达式从负数变为正数的值。

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

解题步骤 18

合并解集。

$x = \sqrt{2.79128784}, - \sqrt{2.79128784}$

解题步骤 19

使用每一个根建立验证区间。

$x < - \sqrt{2.79128784}$

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$

$x > \sqrt{2.79128784}$

解题步骤 20

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 20.1

检验区间 $x < - \sqrt{2.79128784}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 20.1.1

选择区间 $x < - \sqrt{2.79128784}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 4$

解题步骤 20.1.2

使用原不等式中的 $- 4$ 替换 $x$ 。

$- \frac{{(- 4)}^{4} - {(- 4)}^{2} - 5}{{(- 4)}^{2} + 6} < 0$

解题步骤 20.1.3

左边的 $- 10.6\overline{81}$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 20.2

检验区间 $- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 20.2.1

选择区间 $- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 20.2.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$- \frac{{(0)}^{4} - {(0)}^{2} - 5}{{(0)}^{2} + 6} < 0$

解题步骤 20.2.3

左边的 $0.8\overline{3}$ 不小于右边的 $0$ ，即给定的命题是假命题。

False

解题步骤 20.3

检验区间 $x > \sqrt{2.79128784}$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 20.3.1

选择区间 $x > \sqrt{2.79128784}$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 4$

解题步骤 20.3.2

使用原不等式中的 $4$ 替换 $x$ 。

$- \frac{{(4)}^{4} - {(4)}^{2} - 5}{{(4)}^{2} + 6} < 0$

解题步骤 20.3.3

左边的 $- 10.6\overline{81}$ 小于右边的 $0$ ，即给定的命题恒为真命题。

True

解题步骤 20.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - \sqrt{2.79128784}$ 为真

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ 为假

$x > \sqrt{2.79128784}$ 为真

$x < - \sqrt{2.79128784}$ 为真

$- \sqrt{2.79128784} < x < \sqrt{2.79128784}$ 为假

$x > \sqrt{2.79128784}$ 为真

解题步骤 21

解由使等式成立的所有区间组成。

$x < - \sqrt{2.79128784}$ 或 $x > \sqrt{2.79128784}$

解题步骤 22

结果可以多种形式表示。

不等式形式：

$x < - \sqrt{2.79128784} or x > \sqrt{2.79128784}$

区间计数法：

$(- \infty, - \sqrt{2.79128784}) \cup (\sqrt{2.79128784}, \infty)$

解题步骤 23

有限数学 示例

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