有限数学示例

$\log (x^{2} - 1) - \log (x - 1) = 1$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log (\frac{x^{2} - 1}{x - 1}) = 1$

解题步骤 1.2

化简分子。

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解题步骤 1.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\log (\frac{x^{2} - 1^{2}}{x - 1}) = 1$

解题步骤 1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}) = 1$

解题步骤 1.3

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\log (\frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}) = 1$

解题步骤 1.3.2

用 $x + 1$ 除以 $1$ 。

$\log (x + 1) = 1$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\log (x + 1) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$10^{1} = x + 1$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $x + 1 = 10^{1}$ 。

$x + 1 = 10$

解题步骤 3.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = 10 - 1$

解题步骤 3.2.2

从 $10$ 中减去 $1$ 。

$x = 9$

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