有限数学示例

$\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} - 2 = 0$

解题步骤 1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x - b, x - a, 1, 1$

解题步骤 1.2

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 1.3

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 1.4

$1, 1, 1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$1$

解题步骤 1.5

$x - b$ 的因式是 $x - b$ 本身。

$(x - b) = x - b$

$(x - b)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 1.6

$x - a$ 的因式是 $x - a$ 本身。

$(x - a) = x - a$

$(x - a)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 1.7

$x - b, x - a$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$(x - b) (x - a)$

解题步骤 2

将 $\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} - 2 = 0$ 中的每一项乘以 $(x - b) (x - a)$ 以消去分数。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{a}{x - b} + \frac{b}{x - a} - 2 = 0$ 中的每一项乘以 $(x - b) (x - a)$ 。

$\frac{a}{x - b} ((x - b) (x - a)) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) - 2 ((x - b) (x - a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

约去 $x - b$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{a}{x - b} ((x - b) (x - a)) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) - 2 ((x - b) (x - a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.1.2

重写表达式。

$a (x - a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) - 2 ((x - b) (x - a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.2

运用分配律。

$a x + a (- a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) - 2 ((x - b) (x - a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$a x - a \cdot a + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) - 2 ((x - b) (x - a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.4

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 2.2.1.4.1

移动 $a$ 。

$a x - (a \cdot a) + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) - 2 ((x - b) (x - a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.4.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - b) (x - a)) - 2 ((x - b) (x - a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.5

约去 $x - a$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.5.1

从 $(x - b) (x - a)$ 中分解出因数 $x - a$ 。

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - a) (x - b)) - 2 ((x - b) (x - a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.5.2

约去公因数。

$a x - a^{2} + \frac{b}{x - a} ((x - a) (x - b)) - 2 ((x - b) (x - a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.5.3

重写表达式。

$a x - a^{2} + b (x - b) - 2 ((x - b) (x - a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.6

运用分配律。

$a x - a^{2} + b x + b (- b) - 2 ((x - b) (x - a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.7

使用乘法的交换性质重写。

$a x - a^{2} + b x - b \cdot b - 2 ((x - b) (x - a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.8

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b$ 。

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解题步骤 2.2.1.8.1

移动 $b$ 。

$a x - a^{2} + b x - (b \cdot b) - 2 ((x - b) (x - a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.8.2

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} - 2 ((x - b) (x - a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.9

使用 FOIL 方法展开 $(x - b) (x - a)$ 。

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解题步骤 2.2.1.9.1

运用分配律。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} - 2 (x (x - a) - b (x - a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.9.2

运用分配律。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} - 2 (x \cdot x + x (- a) - b (x - a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.9.3

运用分配律。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} - 2 (x \cdot x + x (- a) - b x - b (- a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.10

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.10.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} - 2 (x^{2} + x (- a) - b x - b (- a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.10.2

使用乘法的交换性质重写。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} - 2 (x^{2} - x a - b x - b (- a)) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.10.3

使用乘法的交换性质重写。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} - 2 (x^{2} - x a - b x - 1 \cdot - 1 b a) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.10.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} - 2 (x^{2} - x a - b x + 1 b a) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.10.5

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} - 2 (x^{2} - x a - b x + b a) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.11

运用分配律。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} - 2 x^{2} - 2 (- x a) - 2 (- b x) - 2 (b a) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.12

化简。

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解题步骤 2.2.1.12.1

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} - 2 x^{2} + 2 (x a) - 2 (- b x) - 2 (b a) = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.12.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} - 2 x^{2} + 2 (x a) + 2 (b x) - 2 b a = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.1.13

去掉圆括号。

$a x - a^{2} + b x - b^{2} - 2 x^{2} + 2 x a + 2 b x - 2 b a = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.2

将 $a x$ 和 $2 x a$ 相加。

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解题步骤 2.2.2.1

移动 $x$ 。

$- a^{2} + b x - b^{2} - 2 x^{2} + a x + 2 a x + 2 b x - 2 b a = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.2.2

将 $a x$ 和 $2 a x$ 相加。

$- a^{2} + b x - b^{2} - 2 x^{2} + 3 a x + 2 b x - 2 b a = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.2.3

将 $b x$ 和 $2 b x$ 相加。

$- a^{2} - b^{2} - 2 x^{2} + 3 a x + 3 b x - 2 b a = 0 ((x - b) (x - a))$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - b) (x - a)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

运用分配律。

$- a^{2} - b^{2} - 2 x^{2} + 3 a x + 3 b x - 2 b a = 0 (x (x - a) - b (x - a))$

解题步骤 2.3.1.2

运用分配律。

$- a^{2} - b^{2} - 2 x^{2} + 3 a x + 3 b x - 2 b a = 0 (x \cdot x + x (- a) - b (x - a))$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$- a^{2} - b^{2} - 2 x^{2} + 3 a x + 3 b x - 2 b a = 0 (x \cdot x + x (- a) - b x - b (- a))$

解题步骤 2.3.2

化简项。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- a^{2} - b^{2} - 2 x^{2} + 3 a x + 3 b x - 2 b a = 0 (x^{2} + x (- a) - b x - b (- a))$

解题步骤 2.3.2.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$- a^{2} - b^{2} - 2 x^{2} + 3 a x + 3 b x - 2 b a = 0 (x^{2} - x a - b x - b (- a))$

解题步骤 2.3.2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$- a^{2} - b^{2} - 2 x^{2} + 3 a x + 3 b x - 2 b a = 0 (x^{2} - x a - b x - 1 \cdot - 1 b a)$

解题步骤 2.3.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- a^{2} - b^{2} - 2 x^{2} + 3 a x + 3 b x - 2 b a = 0 (x^{2} - x a - b x + 1 b a)$

解题步骤 2.3.2.1.5

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$- a^{2} - b^{2} - 2 x^{2} + 3 a x + 3 b x - 2 b a = 0 (x^{2} - x a - b x + b a)$

解题步骤 2.3.2.2

将 $0$ 乘以 $x^{2} - x a - b x + b a$ 。

$- a^{2} - b^{2} - 2 x^{2} + 3 a x + 3 b x - 2 b a = 0$

解题步骤 3

求解方程。

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解题步骤 3.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.2

将 $a = - 2$ 、 $b = 3 a + 3 b$ 和 $c = - a^{2} - b^{2} - 2 b a$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- (3 a + 3 b) \pm \sqrt{{(3 a + 3 b)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a))}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3

化简。

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解题步骤 3.3.1

化简分子。

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解题步骤 3.3.1.1

运用分配律。

$x = \frac{- (3 a) - (3 b) \pm \sqrt{{(3 a + 3 b)}^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 3 a - (3 b) \pm \sqrt{{(3 a + 3 b)}^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{{(3 a + 3 b)}^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.4

将 ${(3 a + 3 b)}^{2}$ 重写为 $(3 a + 3 b) (3 a + 3 b)$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{(3 a + 3 b) (3 a + 3 b) - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(3 a + 3 b) (3 a + 3 b)$ 。

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解题步骤 3.3.1.5.1

运用分配律。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{3 a (3 a + 3 b) + 3 b (3 a + 3 b) - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.5.2

运用分配律。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{3 a (3 a) + 3 a (3 b) + 3 b (3 a + 3 b) - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.5.3

运用分配律。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{3 a (3 a) + 3 a (3 b) + 3 b (3 a) + 3 b (3 b) - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.3.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 a \cdot a) + 3 a (3 b) + 3 b (3 a) + 3 b (3 b) - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.6.1.2

通过指数相加将 $a$ 乘以 $a$ 。

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解题步骤 3.3.1.6.1.2.1

移动 $a$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 (a \cdot a)) + 3 a (3 b) + 3 b (3 a) + 3 b (3 b) - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.6.1.2.2

将 $a$ 乘以 $a$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{3 \cdot (3 a^{2}) + 3 a (3 b) + 3 b (3 a) + 3 b (3 b) - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.6.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{9 a^{2} + 3 a (3 b) + 3 b (3 a) + 3 b (3 b) - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{9 a^{2} + 3 \cdot (3 a b) + 3 b (3 a) + 3 b (3 b) - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.6.1.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{9 a^{2} + 9 a b + 3 b (3 a) + 3 b (3 b) - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.6.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{9 a^{2} + 9 a b + 3 \cdot (3 b a) + 3 b (3 b) - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.6.1.7

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{9 a^{2} + 9 a b + 9 b a + 3 b (3 b) - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.6.1.8

使用乘法的交换性质重写。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{9 a^{2} + 9 a b + 9 b a + 3 \cdot (3 b \cdot b) - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.6.1.9

通过指数相加将 $b$ 乘以 $b$ 。

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解题步骤 3.3.1.6.1.9.1

移动 $b$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{9 a^{2} + 9 a b + 9 b a + 3 \cdot (3 (b \cdot b)) - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.6.1.9.2

将 $b$ 乘以 $b$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{9 a^{2} + 9 a b + 9 b a + 3 \cdot (3 b^{2}) - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.6.1.10

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{9 a^{2} + 9 a b + 9 b a + 9 b^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.6.2

将 $9 a b$ 和 $9 b a$ 相加。

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解题步骤 3.3.1.6.2.1

移动 $b$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{9 a^{2} + 9 a b + 9 a b + 9 b^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.6.2.2

将 $9 a b$ 和 $9 a b$ 相加。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{9 a^{2} + 18 a b + 9 b^{2} - 4 \cdot - 2 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.7

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{9 a^{2} + 18 a b + 9 b^{2} + 8 \cdot (- a^{2} - b^{2} - 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.8

运用分配律。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{9 a^{2} + 18 a b + 9 b^{2} + 8 (- a^{2}) + 8 (- b^{2}) + 8 (- 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.9

化简。

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解题步骤 3.3.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{9 a^{2} + 18 a b + 9 b^{2} - 8 a^{2} + 8 (- b^{2}) + 8 (- 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.9.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{9 a^{2} + 18 a b + 9 b^{2} - 8 a^{2} - 8 b^{2} + 8 (- 2 b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.9.3

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{9 a^{2} + 18 a b + 9 b^{2} - 8 a^{2} - 8 b^{2} - 16 (b a)}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.10

从 $9 a^{2}$ 中减去 $8 a^{2}$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{a^{2} + 18 a b + 9 b^{2} - 8 b^{2} - 16 b a}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.11

从 $18 a b$ 中减去 $16 b a$ 。

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解题步骤 3.3.1.11.1

移动 $b$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{a^{2} + 9 b^{2} - 8 b^{2} + 18 a b - 16 a b}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.11.2

从 $18 a b$ 中减去 $16 a b$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{a^{2} + 9 b^{2} - 8 b^{2} + 2 a b}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.12

从 $9 b^{2}$ 中减去 $8 b^{2}$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{a^{2} + b^{2} + 2 a b}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.13

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 3.3.1.13.1

重新整理项。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{a^{2} + 2 a b + b^{2}}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.13.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 a b = 2 \cdot a \cdot b$

解题步骤 3.3.1.13.3

重写多项式。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2}}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.13.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = a$ 和 $b = b$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm \sqrt{{(a + b)}^{2}}}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.1.14

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm (a + b)}{2 \cdot - 2}$

解题步骤 3.3.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$x = \frac{- 3 a - 3 b \pm (a + b)}{- 4}$

解题步骤 3.3.3

化简 $\frac{- 3 a - 3 b \pm (a + b)}{- 4}$ 。

$x = \frac{3 a + 3 b \pm (- (- a - b))}{4}$

解题步骤 3.3.4

化简分子。

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解题步骤 3.3.4.1

运用分配律。

$x = \frac{3 a + 3 b \pm (a + b)}{4}$

解题步骤 3.3.4.2

乘以 $- - a$ 。

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解题步骤 3.3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{3 a + 3 b \pm (1 a + b)}{4}$

解题步骤 3.3.4.2.2

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{3 a + 3 b \pm (a + b)}{4}$

解题步骤 3.3.4.3

乘以 $- - b$ 。

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解题步骤 3.3.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{3 a + 3 b \pm (a + 1 b)}{4}$

解题步骤 3.3.4.3.2

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{3 a + 3 b \pm (a + b)}{4}$

解题步骤 3.4

最终答案为两个解的组合。

$x = a + b$

$x = \frac{a + b}{2}$

$x = a + b$

$x = \frac{a + b}{2}$

有限数学 示例

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