有限数学示例

$\begin{array}{c} x & y \\ 60 - 64 & 4 \\ 65 - 69 & 7 \\ 70 - 74 & 12 \\ 75 - 79 & 16 \\ 80 - 84 & 15 \\ 85 - 89 & 6 \end{array}$

解题步骤 1

求每一组的中点 $M$ 。

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解题步骤 1.1

每组的下限为该组的最小值。另外，每组的上限为该组的最大值。

$\begin{array}{c} x & y & Lower Limits & Upper Limits \\ 60 - 64 & 4 & 60 & 64 \\ 65 - 69 & 7 & 65 & 69 \\ 70 - 74 & 12 & 70 & 74 \\ 75 - 79 & 16 & 75 & 79 \\ 80 - 84 & 15 & 80 & 84 \\ 85 - 89 & 6 & 85 & 89 \end{array}$

解题步骤 1.2

组中点为组下限加组上限除以 $2$ 。

$\begin{array}{c} x & y & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 60 - 64 & 4 & 60 & 64 & \frac{60 + 64}{2} \\ 65 - 69 & 7 & 65 & 69 & \frac{65 + 69}{2} \\ 70 - 74 & 12 & 70 & 74 & \frac{70 + 74}{2} \\ 75 - 79 & 16 & 75 & 79 & \frac{75 + 79}{2} \\ 80 - 84 & 15 & 80 & 84 & \frac{80 + 84}{2} \\ 85 - 89 & 6 & 85 & 89 & \frac{85 + 89}{2} \end{array}$

解题步骤 1.3

化简所有中点列。

$\begin{array}{c} x & y & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 60 - 64 & 4 & 60 & 64 & 62 \\ 65 - 69 & 7 & 65 & 69 & 67 \\ 70 - 74 & 12 & 70 & 74 & 72 \\ 75 - 79 & 16 & 75 & 79 & 77 \\ 80 - 84 & 15 & 80 & 84 & 82 \\ 85 - 89 & 6 & 85 & 89 & 87 \end{array}$

解题步骤 1.4

在原始表格中增加一列，列出中值。

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) \\ 60 - 64 & 4 & 62 \\ 65 - 69 & 7 & 67 \\ 70 - 74 & 12 & 72 \\ 75 - 79 & 16 & 77 \\ 80 - 84 & 15 & 82 \\ 85 - 89 & 6 & 87 \end{array}$

解题步骤 2

计算各组中点的平方 $M^{2}$ 。

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 62^{2} \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 67^{2} \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 72^{2} \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 77^{2} \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 82^{2} \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 87^{2} \end{array}$

解题步骤 3

化简 $M^{2}$ 列。

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 3844 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 4489 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 5184 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 5929 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 6724 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 7569 \end{array}$

解题步骤 4

将每一中点的平方乘以其频率 $f$ 。

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 3844 & 4 \cdot 3844 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 4489 & 7 \cdot 4489 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 5184 & 12 \cdot 5184 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 5929 & 16 \cdot 5929 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 6724 & 15 \cdot 6724 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 7569 & 6 \cdot 7569 \end{array}$

解题步骤 5

化简 $f \cdot M^{2}$ 列。

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 3844 & 15376 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 4489 & 31423 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 5184 & 62208 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 5929 & 94864 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 6724 & 100860 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 7569 & 45414 \end{array}$

解题步骤 6

求所有频率的和。在本例中，所有频率的和为 $n = 4, 7, 12, 16, 15, 6 = 60$ 。

$\sum_{}^{} f = n = 60$

解题步骤 7

求 $f \cdot M^{2}$ 列的和。在本例中，即 $15376 + 31423 + 62208 + 94864 + 100860 + 45414 = 350145$ 。

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 350145$

解题步骤 8

求平均值 $μ$ 。

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解题步骤 8.1

求每一组的中点 $M$ 。

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) \\ 60 - 64 & 4 & 62 \\ 65 - 69 & 7 & 67 \\ 70 - 74 & 12 & 72 \\ 75 - 79 & 16 & 77 \\ 80 - 84 & 15 & 82 \\ 85 - 89 & 6 & 87 \end{array}$

解题步骤 8.2

将每组频率乘以组中值。

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 4 \cdot 62 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 7 \cdot 67 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 12 \cdot 72 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 16 \cdot 77 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 15 \cdot 82 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 6 \cdot 87 \end{array}$

解题步骤 8.3

化简 $f \cdot M$ 列。

$\begin{array}{c} x & y & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 60 - 64 & 4 & 62 & 248 \\ 65 - 69 & 7 & 67 & 469 \\ 70 - 74 & 12 & 72 & 864 \\ 75 - 79 & 16 & 77 & 1232 \\ 80 - 84 & 15 & 82 & 1230 \\ 85 - 89 & 6 & 87 & 522 \end{array}$

解题步骤 8.4

将 $f \cdot M$ 列中的值相加。

$248 + 469 + 864 + 1232 + 1230 + 522 = 4565$

解题步骤 8.5

将频率列中的值相加。

$n = 4 + 7 + 12 + 16 + 15 + 6 = 60$

解题步骤 8.6

均值 (mu) 为 $f \cdot M$ 的和除以 $n$ ，即为频率的和。

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

解题步骤 8.7

平均值是中点和频率的乘积之和除以频率总和。

$μ = \frac{4565}{60}$

解题步骤 8.8

化简 $μ = \frac{4565}{60}$ 的右边。

$76.08\overline{3}$

解题步骤 9

标准差方程为 $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ 。

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

解题步骤 10

将计算值代入 $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ 。

$S^{2} = \frac{350145 - 60 {(76.08\overline{3})}^{2}}{60 - 1}$

解题步骤 11

化简 $S^{2} = \frac{350145 - 60 {(76.08\overline{3})}^{2}}{60 - 1}$ 的右边以得出方差 $S^{2} = 47.87429378$ 。

$47.87429378$

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