有限数学示例

$\begin{array}{c} Class & Frequency \\ 15 - 21 & 7 \\ 22 - 28 & 3 \\ 29 - 35 & 2 \\ 36 - 42 & 5 \\ 43 - 49 & 1 \end{array}$

解题步骤 1

求每一组的中点 $M$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

每组的下限为该组的最小值。另外，每组的上限为该组的最大值。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits \\ 15 - 21 & 7 & 15 & 21 \\ 22 - 28 & 3 & 22 & 28 \\ 29 - 35 & 2 & 29 & 35 \\ 36 - 42 & 5 & 36 & 42 \\ 43 - 49 & 1 & 43 & 49 \end{array}$

解题步骤 1.2

组中点为组下限加组上限除以 $2$ 。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 15 - 21 & 7 & 15 & 21 & \frac{15 + 21}{2} \\ 22 - 28 & 3 & 22 & 28 & \frac{22 + 28}{2} \\ 29 - 35 & 2 & 29 & 35 & \frac{29 + 35}{2} \\ 36 - 42 & 5 & 36 & 42 & \frac{36 + 42}{2} \\ 43 - 49 & 1 & 43 & 49 & \frac{43 + 49}{2} \end{array}$

解题步骤 1.3

化简所有中点列。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Lower Limits & Upper Limits & Midpoint (M) \\ 15 - 21 & 7 & 15 & 21 & 18 \\ 22 - 28 & 3 & 22 & 28 & 25 \\ 29 - 35 & 2 & 29 & 35 & 32 \\ 36 - 42 & 5 & 36 & 42 & 39 \\ 43 - 49 & 1 & 43 & 49 & 46 \end{array}$

解题步骤 1.4

在原始表格中增加一列，列出中值。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 15 - 21 & 7 & 18 \\ 22 - 28 & 3 & 25 \\ 29 - 35 & 2 & 32 \\ 36 - 42 & 5 & 39 \\ 43 - 49 & 1 & 46 \end{array}$

解题步骤 2

计算各组中点的平方 $M^{2}$ 。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 15 - 21 & 7 & 18 & 18^{2} \\ 22 - 28 & 3 & 25 & 25^{2} \\ 29 - 35 & 2 & 32 & 32^{2} \\ 36 - 42 & 5 & 39 & 39^{2} \\ 43 - 49 & 1 & 46 & 46^{2} \end{array}$

解题步骤 3

化简 $M^{2}$ 列。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} \\ 15 - 21 & 7 & 18 & 324 \\ 22 - 28 & 3 & 25 & 625 \\ 29 - 35 & 2 & 32 & 1024 \\ 36 - 42 & 5 & 39 & 1521 \\ 43 - 49 & 1 & 46 & 2116 \end{array}$

解题步骤 4

将每一中点的平方乘以其频率 $f$ 。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 15 - 21 & 7 & 18 & 324 & 7 \cdot 324 \\ 22 - 28 & 3 & 25 & 625 & 3 \cdot 625 \\ 29 - 35 & 2 & 32 & 1024 & 2 \cdot 1024 \\ 36 - 42 & 5 & 39 & 1521 & 5 \cdot 1521 \\ 43 - 49 & 1 & 46 & 2116 & 1 \cdot 2116 \end{array}$

解题步骤 5

化简 $f \cdot M^{2}$ 列。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & M^{2} & f \cdot M^{2} \\ 15 - 21 & 7 & 18 & 324 & 2268 \\ 22 - 28 & 3 & 25 & 625 & 1875 \\ 29 - 35 & 2 & 32 & 1024 & 2048 \\ 36 - 42 & 5 & 39 & 1521 & 7605 \\ 43 - 49 & 1 & 46 & 2116 & 2116 \end{array}$

解题步骤 6

求所有频率的和。在本例中，所有频率的和为 $n = 7, 3, 2, 5, 1 = 18$ 。

$\sum_{}^{} f = n = 18$

解题步骤 7

求 $f \cdot M^{2}$ 列的和。在本例中，即 $2268 + 1875 + 2048 + 7605 + 2116 = 15912$ 。

$\sum_{}^{} f \cdot M^{2} = 15912$

解题步骤 8

求平均值 $μ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 8.1

求每一组的中点 $M$ 。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) \\ 15 - 21 & 7 & 18 \\ 22 - 28 & 3 & 25 \\ 29 - 35 & 2 & 32 \\ 36 - 42 & 5 & 39 \\ 43 - 49 & 1 & 46 \end{array}$

解题步骤 8.2

将每组频率乘以组中值。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 15 - 21 & 7 & 18 & 7 \cdot 18 \\ 22 - 28 & 3 & 25 & 3 \cdot 25 \\ 29 - 35 & 2 & 32 & 2 \cdot 32 \\ 36 - 42 & 5 & 39 & 5 \cdot 39 \\ 43 - 49 & 1 & 46 & 1 \cdot 46 \end{array}$

解题步骤 8.3

化简 $f \cdot M$ 列。

$\begin{array}{c} Class & Frequency (f) & Midpoint (M) & f \cdot M \\ 15 - 21 & 7 & 18 & 126 \\ 22 - 28 & 3 & 25 & 75 \\ 29 - 35 & 2 & 32 & 64 \\ 36 - 42 & 5 & 39 & 195 \\ 43 - 49 & 1 & 46 & 46 \end{array}$

解题步骤 8.4

将 $f \cdot M$ 列中的值相加。

$126 + 75 + 64 + 195 + 46 = 506$

解题步骤 8.5

将频率列中的值相加。

$n = 7 + 3 + 2 + 5 + 1 = 18$

解题步骤 8.6

均值 (mu) 为 $f \cdot M$ 的和除以 $n$ ，即为频率的和。

$μ = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M}{\sum_{}^{} f}$

解题步骤 8.7

平均值是中点和频率的乘积之和除以频率总和。

$μ = \frac{506}{18}$

解题步骤 8.8

化简 $μ = \frac{506}{18}$ 的右边。

$28.\overline{1}$

解题步骤 9

标准差方程为 $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ 。

$S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$

解题步骤 10

将计算值代入 $S^{2} = \frac{\sum_{}^{} f \cdot M^{2} - n {(μ)}^{2}}{n - 1}$ 。

$S^{2} = \frac{15912 - 18 {(28.\overline{1})}^{2}}{18 - 1}$

解题步骤 11

化简 $S^{2} = \frac{15912 - 18 {(28.\overline{1})}^{2}}{18 - 1}$ 的右边以得出方差 $S^{2} = 99.28104575$ 。

$99.28104575$

解题步骤 12

标准差是方差的平方根 $99.28104575$ 。在本例中，标准差为 $9.96398744$ 。

$9.96398744$

有限数学 示例

有限数学示例