有限数学示例

$f (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{x^{2} - 2 x - 8}$

解题步骤 1

将 $\sqrt{x + 2}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x + 2 \geq 0$

解题步骤 2

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$x \geq - 2$

解题步骤 3

将 $\frac{\sqrt{x + 2}}{x^{2} - 2 x - 8}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $- 2$ 。

$- 4, 2$

解题步骤 4.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 4) (x + 2) = 0$

解题步骤 4.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 4.3

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 4.3.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 4.4

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 4.4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 4.5

最终解为使 $(x - 4) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 4, - 2$

解题步骤 5

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

区间计数法：

$(- 2, 4) \cup (4, \infty)$

集合符号：

${x | x > - 2, x \neq 4}$

解题步骤 6

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{8}] \cup (0, \infty)$

集合符号：

${y | y \leq - \frac{\sqrt{2}}{8}, y > 0}$

解题步骤 7

确定定义域和值域。

定义域： $(- 2, 4) \cup (4, \infty), {x | x > - 2, x \neq 4}$

值域： $(- \infty, - \frac{\sqrt{2}}{8}] \cup (0, \infty), {y | y \leq - \frac{\sqrt{2}}{8}, y > 0}$

解题步骤 8

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